Hvad er matematik?

Engang var jeg en vred ung matematikstuderende; i dag er jeg en vranten midaldrende universitetslærer på Institut for datalogi. Sic transit gloria mundi. Dengang i 1983-84 stykker var jeg sammen med en række andre vrede unge matematikstuderende om at lave Mat 3-projekt under problemformuleringen Hvad er matematik?

Selvfølgelig fandt vi aldrig svaret; spørgsmålet var alt for bredt og naivt, og vi blev da også belønnet på passende vis med en for nogle af os uvant middelmådig karakter. I en del år brugte jeg mest “Hvad er matematik?” som en slags selvhånende kommentar i samtaler med gamle studiekammerater. Men efterhånden dukkede spørgsmålet op hos mig som et ærligt spørgsmål, efterhånden som jeg begyndte at interessere mig for matematisk logik i forbindelse med mit virke i teoretisk datalogi.

Sidste år fik jeg omsider læst Andrew Hodges’ monumentale biografi af Alan Turing, Alan Turing: The Enigma, og her kan man allerede i forordet læse om hvordan en af Turings studerende, Audrey Bates, blev inspireret til at programmere Manchester-maskinen til at finde normalformer i lambda-kalkyle.

Lambda-kalkylen skyldes Alonzo Church og er en lille notation for beregnbare funktioner, og notationen er forsynet med få og enkle reduktionsregler. Ovenfor kan man se beta-reduktionsreglen, som intuitivt set blot forklarer, at en funktion anvendes på en værdi ved at indsubstituere værdien på argumentets plads overalt i forskriften. Et lambda-udtryk er på normalform, hvis ingen reduktionsregel kan anvendes på det.

På Turings tid var Audrey Bates’ arbejde lidt underligt, syntes man – for var det overhovedet matematik? Alonzo Church’s arbejde om beregnbare funktioner havde ikke rigtig noget med tal at gøre, og matematik er da videnskaben om tal, ikke? Og computere kan kun bruges til store beregninger på tal, ikke?

Også i dag kan man møde denne holdning: at matematik først og fremmest er videnskaben om tal. Nogle matematikere synes, at matematisk analyse er “den rigtige matematik”, andre holder på algebraen som “den rigtige matematik” – og mange er enige om at f.eks. teoretisk datalogi i hvert fald ikke er rigtig matematik.

Jeg ved ikke, om jeg er matematiker i dag. Det vildeste resultat fra analyse, jeg har brugt i min forskning, er Banachs fikspunktssætning for kontraktioner, og det er meget tamt. Nogle matematikere har kaldt mig matematik som en form for erkendelse af et fællesskab, nogle dataloger har kaldt mig det i en slags forsøg på at definere mig som forskellig fra dem. Men hvis matematik ikke defineres ud fra et genstandsområde men snarere som en metode, der anvender præcist definerede begreber og opstiller sætninger, der skal bevises ved brug af alment gyldige, tilstræbt objektive inferenser, da er vel også jeg matematiker i 2011. Jeg har aldrig lavet forskning uden denne metode, og jeg kommer formodentlig aldrig til det.

(Visited 85 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

6 kommentarer til “Hvad er matematik?”

  1. Jeg vil slet ikke svare på spørgsmålet, men helt ærligt Hans, du har glemt geometri!
    Timothy Gowers skriver i forordet til Princeton Companion to Mathematics (og læs helt til den sidste sætning – det er pointen…:):
    Bertrand Russell, in his book The Principles of Mathematics, proposes the following as a definition of pure mathematics.
    “Pure Mathematics is the class of all propositions of
    the form “p implies q,” where p and q are propositions containing one or more variables, the same in
    the two propositions, and neither p nor q contains any
    constants except logical constants. And logical constants are all notions definable in terms of the following: Implication, the relation of a term to a class
    of which it is a member, the notion of such that, the
    notion of relation, and such further notions as may be
    involved in the general notion of propositions of the
    above form. In addition to these, mathematics uses a
    notion which is not a constituent of the propositions
    which it considers, namely the notion of truth.”
    The Princeton Companion to Mathematics could be said
    to be about everything that Russell’s definition leaves
    out.

  2. Jeg har glemt geometri – og så meget andet. Det er frækt, det ved jeg godt – og da især over for dig, Lisbeth. Men min pointe var ikke at fremhæve netop analyse eller algebra, men at pege på hvor vilkårligt det “grundlæggende genstandsområde” vel egentlig er. Det er næsten 400 år siden, den gode René Descartes skabte grundlagt for analytisk geometri og derved reducerede geometri til “tal” (eller rettere: algebra). Mange store matematiske gennembrud – både på sætningsniveau og i større teoridannelser – består i dén slags reduktioner. Man tænker på f.eks. Kolmogorovs målteoretiske genopfindelse af sandsynlighedsteori eller på hele historien om hvordan Fermats store sætning er blevet opfattet gennem århundrederne.

    Når alt dét så er sagt: Russell var jo logicismens fader, så for ham kunne der ikke være andet end logisk inferens. Alt andet måtte være afledte begreber; hvis man er rigtig ihærdig (grænsende til det trælse), kan man sagtens kode de naturlige tal ad logisk vej. Det er præcis dét, Russell og Whitehead gjorde, og når man først har N, kommer resten af The Princeton Companion to Mathematics “af sig selv” ved brug af passende aksiomatisering. Men det har jeg ikke tid til at beskrive her, for kommentarer i bloggen bør kun være af en vis længde 🙂

  3. Når jeg siger, du mangler geometri, er det fordi, de klassiske tre områder er analyse, algebra og geometri; så siger man analyse og algebra, må man nødvendigvis sige geometri. (Men ikke nødvendigvis kategori-teori, diskret matematik eller andre områder.)
    Jeg kender skam godt Russel og Whitehead, og jeg er fuldt ud klar over, at Russel er logicist.Gowers’ pointe er en anden. Nemlig, at det ikke er ligegyldigt, hvad man beskæftiger sig med i et nok så korrekt logisk sprog. Hvad er de væsentlige problemer, de store resultater, etc.
    At reducere geometri til analyse er en fejl. Genstandsområdet i geometri er et andet, uanset om det er veldefineret eller ej. Man studerer ganske vist eksempelvis mangfoldigheder, med værktøj fra analyse (og algebra og lineær algebra og sandsynlighedsteori), men geometri er ikke analyse. Uanset om vi lægger (lokale) koordinater på.
    Store matematiske gennembrud er for øvrigt ofte at skabe forbindelse mellem hidtil ikke sammenlignelige områder. At anvende matematisk fysik i geometri (Simon Donaldson). At bruge braid groups i operator algebra (John Jones et.al.). At bruge sandsynlighedsteori i talteori (Terence Tao). . Analyse ((differentialoperatorer) og algebraisk topologi (Atiyah-Singer). Og der er masser af andre eksempler, også 2010 Fieldsmedaljerne, som jeg har beskrevet på Numb3rs-bloggen. Det er ikke reduktion, men nærmere omvendt. Om nogen så mener, det skyldes, at alt er mængder og tal, kan man efter min mening ikke bruge til frygtelig meget, når man skal se, hvad der virkelig foregår.

  4. Det har altid forekommet mig at være en lidt underlig klassifikation – analyse/algebra/geometri og så rodekassen “alt det andet”. Især synes jeg, “diskret matematik” er blevet defineret mest som en modsætning til al den “kontinuerte” matematik.

    Men det er nogle gode eksempler, du har – og også dé viser vel, at det ikke giver mening at sige, at matematik “bare er” et bestemt genstandsområde. Måske virker det næsten tautologisk at sige, at matematik er dét, matematikere laver – men så alligevel.

  5. Rodekassen er stor. Der er mere end 6000 emner i Math Subject Classification. I opdelingen geometri, algebra, analyse, er rodekassen vel en delmængde. Det er jo meget bredt tænkt. Diskret matematik hører nok mest under algebra, men også geometri. Broerne i Kønigsberg er både grafteori og algebraisk topologi.
    Og for at gøre forvirringen komplet, taler vi om topologi og geometri – geometri kræver noget “metri”.

    Tinne Hoff Kjeldsen har skrevet en bog med titlen Hvad er matematik?
    den er god. Tinne er pragmatiker…
    Men der er jo ikke en god definition. I starten var datalogi jo en del af matematik, Så det er tidsafhængigt. Det er måske, hvad matematikere laver nu?

Skriv et svar