Bevisets stilling

Jeg har siddet og rettet ca. 30 eksamenssæt fra kurset “Syntaks og semantik”, som jeg har holdt i dette forårssemester. Det er en blandet fornøjelse; mange har heldigvis svaret godt, men der er nogle misforståelser, der går igen og igen. Af og til spekulerer jeg på, om hvorfor det mon er tilfældet. Er der mon nogle fredagsbar-seancer, hvor man aftaler den slags? (“Er vi så enige om, at hvis vi får en opgave om det her, så skriver vi ikke det rigtige, men at…”)

Tankegangen bag matematiske beviser falder en del studerende meget svært, og meget af problemet kan føres tilbage til problemer med at forstå kvantorer fra førsteordenslogik og konnektiver fra udsagnslogik. Et sted, hvor man ser dette meget tydeligt, er i anvendelserne af de to Pumping Lemmaer fra formel sprogteori. Det er matematiske sætninger, der er på formen:

Hvis L er et regulært (eller kontekstfrit) sprog, så findes der en konstant p, så at der for enhver streng s \in L af længde mindst p findes en opsplitning som opfylder…

Disse sætninger har form af en implikation (hvis…så). Det eneste, man kan bruge disse sætninger til, er derfor at vise at et sprog ikke er regulært, hhvs. kontekstfrit – netop fordi der ikke er tale om en biimplikation. Bevisteknikken er kontraposition; vi viser, at konklusionen ikke kan være sand for L. Men dette har en del studerende problemer med; enten tror de, en implikation og en biimplikation er det samme eller også vender de implikationen forkert.

Et andet problem – og det er her, man skulle tro, misforståelserne var aftalt, for jeg har kunnet finde et stort mindretal blandt de 30, der går ind får det – er i beviset for at konklusionen er falsk for et givet L. Konklusionen har en eksistenskvantor (“der findes et p…”) yderst, og for at modbevise den, skal vi vælge en streng s \in L og vise, at intet valg af p giver en gyldig opsplitning af s, dvs. vi skal undersøge alle opsplitninger for et vilkårligt p. Men en udbredt fejl er nu denne:

Vi sætter p=2, vælger en streng af længde 2 og en opsplitning af denne. Men denne opsplitning er ugyldig, og beviset er nu færdigt.

Med andre ord er der mange, der tror på et aksiom på formen

(\exists p. \exists s. \neg P(p,s)) \Rightarrow (\forall p.\forall s \neg P(p,s))

Jeg har aldrig rigtig kunnet finde ud af, hvor dette udbredte fejl-ræsonnement kommer fra. Det kan næppe stamme fra dagligsproget; når jeg fortæller de studerende, at jeg ikke kan konkludere, at min kuglepen ikke er på universitetets område, bare fordi den ikke er på mit kontor, kan de sagtens se det fejlagtige i ræsonnementet.

Når det er så svært at lære studerende matematiske ræsonnementer, skyldes det formodentlig netop, at der for dem ikke fremstår nogen simpel forbindelse mellem dagligsprogets logik og tilsvarende ræsonnementsformer i matematik. Det er, som om matematikkens sprog og dagligsproget ofte kommer til at rejse i hver sin kupé. For nogle studerendes vedkommende er de ikke engang placeret i samme tog.

Det er ikke blevet lettere med årene, for indholdet af matematiske ræsonnementer i ungdomsuddannelsernes matematikundervisning er nedtonet en hel del efterhånden. (Og moderne datalogistuderende har ikke matematik som deres andet fag; næ, da far var dreng…) Men også da jeg gik i gymnasiet, var der en splittethed i undervisningen. Jeg kunne nemt anvende teknikkerne og f.eks. beregne bestemte integraler med brug af stamfunktion, og jeg vidste, at et integral er det tal, der skiller oversummer fra undersummer og jeg så også beviset for Fundamentalsætningen. Men hvor godt forstod jeg sammenhængen? Det var som om regneteknikker og ræsonnementer levede i hver deres verden.

Og når vi i dagligsproget rask væk benytter os af usunde slutningsregler, gør vi livet endnu vanskeligere for os selv. Dagligsprogets “argumentation” er fuld af fejlslutninger i logisk forstand; hvis nogen er i tvivl om dette, skal de bare se tv-avis!

(Visited 47 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

Skriv et svar