Indlysende/trivielt (?)


Timothy Gowers, der er matematiker i Cambridge, har en side med `matematiske diskussioner’, der er en liste med overvejelser om en lang række helt fundamentale (og ofteste elementære) spørgsmål. Et interessant spørgsmål på listen er det tilsyneladende banale: Hvorfor er multiplikation af naturlige tal egentlig en kommutativ operation? Mere præcist, hvorfor er formlen

\forall x \in {\mathbb{N}}.\forall y. \in {\mathbb{N}}. x \cdot y = y \cdot x

sand? Gowers har to bud:

  • Et bevis, der udnytter at mængden af felter i et m \times n-gitter har samme kardinalitet som et n \times m-gitter
  • Et bevis, der gør brug af `tælledefinitionen’, at m \cdot n = \underbrace{n + \ldots + n}_{m \mbox{ gange }} og foretager induktion i m

Men vil vi generalisere til de hele tal, dvs. bevise at

\forall x \in {\mathbb{Z}}.\forall y. \in {\mathbb{Z}}. x \cdot y = y \cdot x

er sand. Her bliver man i beviset nødt til først at vise det lille lemma, at ethvert negativt tal er på formen -n, hvor n \in \mathbb{N}, og så er vi tilbage ved overvejelser om konstruktionen af de ikke-positive tal som den mindste udvidelse af \mathbb{N}, der giver os en gruppe.

Nogle læsere synes formodentlig, at her er tale om trivialiteternes overdrev, og at der rettes et batteri af kanoner mod en stakkels gråspurv. (Det gælder ikke kun `lægfolk’, også de fleste ingeniører vil sikkert udstøde suk. I en ikke så fjern fortid husker jeg ingeniørstuderende, der våndede sig over `alle de mange beviser’ i min undervisning. Det var nu sjældent, fordi de syntes, de var trivielle.)

Men for mig illustrerer Gowers’ overvejelser dels den vigtige forskel mellem det indlysende og det trivielle. Det er nemlig indlysende, at multiplikation af hele tal er kommutativ, og også indlysende at ethvert negativt tal er på formen -n, men et trivielt faktum, det er det ikke. Hvis det var, ville der ikke være noget at lære for skolebørn, vel? (Der har været udfordringer netop her, kan jeg som fader godt røbe.)

(Visited 77 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

Én kommentar til “Indlysende/trivielt (?)”

Skriv et svar