Gödel – altid misforstået

Jeg blev tidligt fascineret af Kurt Gödels resultater om ufuldstændighed; jeg kan huske at jeg lånte en bog om grafteoriens historie, der sluttede af med nogle refleksioner over dette vigtige resultat. Kort tid efter udsendte min daværende Mat 1-vejleder Preben D. Vestergaard sin bog Løste og uløste matematiske problemer, og heri skrev han også om Gödels sætninger. Efterhånden blev jeg opmærksom på at også personer helt uden baggrund inden for matematik – ofte sociologer og andre – begyndte at inddrage Gödels ufuldstændighedssætning i deres diskurs. Alle mulige interessante konklusioner om Guds eksistens, umuligheden af et socialistisk samfund med total retfærdighed og umuligheden af metoder til systemudvikling væltede frem.

Til sidst kom dagen, hvor jeg selv blev i stand til at sætte mig ind i hvad Gödels sætninger udsiger, og fra da af har jeg været træt af misbruget af Gödels sætninger uden for det område, hvor man rent faktisk kan tillade sig at bruge dem. Det gik op for mig, at Gödels resultat om fuldstændighed af førsteordens-logik er et lige så vigtigt resultat inden for matematisk logik. Det er det resultat, der fortæller os at en førsteordens-formel \varphi er bevisbar fra hypoteserne \Gamma ud fra aksiomerne og reglerne i førsteordens-logik, skrevet \Gamma \vdash \varphi hvis og kun hvis \varphi er sand i alle de strukturer, hvor alle hypoteser i \Gamma er sand, skrevet \Gamma \models \varphi. Dvs. at bevisbarhed er det samme som sandhed i førsteordens-logik; $\latex \models$ og \vdash er den samme relation. Men det er en sætning, ikke ret mange, der ikke har fulgt egentlige kurser i logik kender til.

Men nu tilbage til ufuldstændighedsresultaterne, som der er flere af. Det, de fleste når til, og kløjs i, er det første resultat. Det er det, der siger at der i en “tilstrækkeligt stærk” teori inden for førsteordens-logik findes en formel \varphi\Gamma \models \varphi men at vi samtidig har at \Gamma \not\vdash \varphi. Hvad er så en “tilstrækkeligt stærk” teori? Det er en teori, der ud over de rent logiske aksiomer, der fortæller om kvantorerne (\forall og \exists) og konnektiverne (\vee, \wedge og \neg) indbefatter Peanos aksiomer for de naturlige tal og principperne om at man kan definere de såkaldte primitive rekursive funktioner over de naturlige tal (eller rettere: funktioner af type \mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N} for alle k).

Gödels trick er at kode bevisbarhedsrelationen ved brug af de naturlige tal og primitive rekursion. På en måde er hans bevis et meget tidligt Haskell- eller ML-program!

Her er vi allerede langt væk fra sociologi og postmodernisme, som man kan regne ud.

Det bliver ikke bedre for sociologerne med det andet ufuldstændighedsresultat, der siger at man inden for en “tilstrækkeligt stærk” teori (i samme forstand som ovenfor) kan bevise at teorien er konsistent hvis og kun hvis teorien faktisk er inkonsistent.

Sociologiske teorier, politiske anskuelser, religion osv. er ikke formelle logiske teorier. Nogle af dem er ubestrideligt primitive, men der er ikke megen primitiv rekursion over dem af den grund.

Den svenske logiker Torkel Franzén, som jeg i sin tid fulgte på nyhedsgrupperne på Usenet (inden for alle mulige emner lige fra matematik til film) og nogle få gange e-mail-korresponderede med (om småting), var lige så træt af alle misforståelserne af Gödels resultater som jeg er. Men han havde kompetencen og energien til at gøe noget ved det; i 2005 skrev han en bog, Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. Hvis man ikke har kræfter til at binde an med den, kan man starte med Franzéns lille, velskrevne artikel i Notices of the AMS.

Jeg nåede desværre aldrig at møde Torkel Franzén. Han døde i 2006, kun 56 år gammel.

Om Kurt Gödel kan der fortælles meget, men det må vente til en anden dag.

(Visited 142 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

Skriv et svar