Det er ikke en parabel

20111115-193135.jpg

Jeg stillede for rigtig mange år siden nogle af mine medstuderende denne drilske gåde:

En 3 meter lang kæde er udspændt i sine to endepunkter mellem to halvanden meter høje pæle, der står på et plant underlag, således at kædens laveste punkt netop rører underlaget. Hvor langt er der mellem de to pæle?

Lars Bækgaard, der var en ørn til matematik, spurgte: Hvad er det nu, sådan en kurve er? Er det en parabel?

Nej, det er det ikke. I sin tid troede man, at kædelinjen, som kurven lidt misvisende kaldes, var en parabel. Måske troede selveste Galilei det.

Kædelinjen er faktisk (for et givet a) givet ved

f(t) = a \frac{e^{t/a} - e^{-t/a}}{2} = a \cosh (\frac{t}{a})

– den sidste lighed er en simpel observation ved at se definitionen af den hyperbolske cosinusfunktion. Der er nu alligevel et slægtskab med parablen: Tæt på t=0 er kædelinjen tæt på at være en parabel, og kædelinjen kan faktisk fremkomme som den kurve, en parabels brændpunkt følger, hvis den rulles langs en ret linje (se http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette_(curve) hvis man skulle være i tvivl om hvad der menes hermed).

Henrik Kragh Sørensen, der er matematikhistoriker på Aarhus Universitet, har en gammel tekst (udarbejdet som afløsningsopgave i studietiden) om kædelinjens historie. Her kan man se, hvordan Jakob Bernoulli i 1690 udskrev en konkurrence om at finde frem til egenskaberne ved kædelinjen. Huygens, Leibniz og Johann Bernoulli (Jakobs bror) svarede. Det interessante i matematikhistorisk sammenhæng er, at Huygens, der er lidt for gammel til at være glad for infinitesimalregning, ikke brugte differentialligninger i sin udledning (men faktisk anvender et grænseværdiagtigt ræsonnement, man først langt senere ville kunne formalisere pænt!). Leibniz bruger selvfølgelig differentialregning, og Bernoulli ligeså.

Der er masser af udledninger af kædelinjen derude. Der er endnu en historisk vinklet artikel af Frederick Rickey (med håndtegnede figurer), som jeg vil fremhæve for ikke bare en kort udledning men også for sin klare beskrivelse af Ignace Gaston Pardies’ argument fra 1673 for at kædelinjen ikke er en parabel (andre fandt ud af dette også, bl.a. Huygens i 1646).

Og svaret på gåden ovenfor? Afstanden mellem de to pæle må være 0 meter; det kræver intet kendskab til kædelinjen for at indse dette!