Giuseppe Peano

Jeg tror, den matematiske indsigt, jeg har benyttet mig af oftest, er Peanos aksiomer. De er opkaldt efter den italienske matematiker Giuseppe Peano, der fremsatte de i alt 9 aksiomer i Arithmetices principia, nova methodo exposita  i 1899. Peanos aksiomer udgør en aksiomatisering af mængden af de naturlige tal \mathbb N og deres egenskaber.

Som i så mange andre tilfælde i videnskabens historie var Peano ikke alene om denne indsigt. Allerede i 1860’erne indså den tyske matematiker Hermann Grassmann, at man kunne forstå mange egenskaber ved de naturlige tal alene ud fra efterfølgerfunktionen og induktionsprincippet. Også Charles Sanders Peirce forsøgte sig med en en aksiomatisering af de naturlige tal i 1881, og i 1888 kom endnu et bud, denne gang fra Dedekind. Af og til hører man derfor aksiomerne omtalt som Dedekind-Peano-aksiomerne.

Peanos aksiomer kan beskrives således:

  1. 0 er et naturligt tal.
  2. Lighedsrelationen = er en ækvivalensrelation, og \mathbb N er lukket under =
  3. Der findes en efterfølgerfunktion S : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, som opfylder at for alle n \in \mathbb{N} har vi at S(n) \not = 0.
  4. S er injektiv, dvs. hvis S(n) = S(n'), så har vi n = n'.
  5. Hvis K \subseteq \mathbb{N} opfylder at 0 \in K og at for alle n \in K har vi at S(n) \in K, så er K = \mathbb{N}.

Det sidste aksiom er det, de fleste kender og som jeg ender med at bruge hele tiden, nemlig induktionsaksiomet.

Man kan tilføje muligheden for definition af relationer over de naturlige tal ved brug af primitiv rekursion, og så bliver det muligt at definere de sædvanlige aritmetiske operationer og ordningsrelationer.

Jeg husker selv, hvordan jeg i et kursus på det daværende Mat 3 første gang hørte om Peanos aksiomer som en aksiomatisering af \mathbb{N} (induktion blev man dengang undervist i i gymnasiet), og på det næste semester, som var første semester af datalogistudiet, så jeg faktisk Peanos aksiomer igen – nu som et godt eksempel på det, man i datalogi kalder for en algebraisk specifikation af en datatype!

Alle studerende på de datalogiske uddannelser bliver stadig undervist i induktionsbeviser og brugen af rekursion, og nogle af dem forstår induktionsprincippet. Mange resultater i datalogi er opnået ved induktionsbeviser, så der er tale om et vigtigt redskab. Men datalogistuderende hører aldrig om Peano.

(Visited 99 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

Skriv et svar