Eksemplets (af)magt

  • Hvad er en planet? Saturn er en planet.
  • Hvad er et primtal? 19 er et primtal.
  • Hvad vil det sige, at en mængde er en delmængde af en anden? \{ 1,2 \} \subseteq \{ 1,2,3 \}.

En tilbagevendende forhindring og kilde til en del frustration hos mig er at mange datalogistuderende (og sikkert også studerende på andre fag) tænker i eksempler og kun eksempler:

Jeg ser arbejdsblade fra studerende, der vil tale om f.eks. længden af en tekststreng. De skriver så

“Hest” har længde 4, for eksempel.

Men får vi at vide, at længden af en tekststreng er antallet af symboler i strengen? Nej. Jeg spørger de studerende, og de kan ikke forklare dette.

Eller jeg overværer en eksamenspræstation, hvor den studerende giver et eksempel på hvordan man kan determinisere en endelig automat (den konstruktion, der i automatteori kaldes delmængdekonstruktionen). De tegner en masse på tavlen, og nogle gange lykkes det at komme godt igennem forklaringen af eksemplet. Men hvordan ser den generelle konstruktion ud? spørger jeg så. Den studerende giver fortabt.

Det er meget svært at tale med studerende, når det eneste sprog er eksempelsnakken. I en universitetsuddannelse er der uanset fag et væsentligt element af abstraktion.

Hvorfor er eksempelsnak farlig? Det er vel bare en anden repræsentation af viden, vil nogen sige. Faren ved at bevæge sig på eksempelniveau er, at man nemt bliver ude af stand til at generalisere, men også ofte til at finde nye eksempler og – nok så vigtigt – modeksempler.

En af de store udfordringer er at få de studerende til at skabe forbindelsen mellem generelle begreber og konkrete instanser, i en del tilfælde endog at forstå, at de generelle begreber findes og kan defineres.

Eksemplerne er en realitet i tankeprocesser. Vi bruger dem alle, og vi kan ikke slippe uden om dem. Hvis jeg holder et foredrag til en konference, bruger jeg ofte selv “definition ved eksempel” i selve foredraget; ofte har jeg kun 20 minutter til min rådighed, og en gennemgang af alle definitioner vil sluge tid og budskabet om de bidrag, jeg selv har, vil gå tabt. Den egentlige definition kan findes i den konferenceartikel, jeg har med til konferencen.

Men eksempler er altid eksempler på et generelt begreb – ellers var de jo ikke eksempler. Det er her, udfordringen i undervisningen kommer, nemlig at vise dette.

Hvad er så et godt eksempel? Som oftest er der ikke ét eksempel, der illustrerer alle aspekter af en generel definition. Jeg tror på de `kanoniske’ eksempler, der tilsammen illustrerer alle dele af den generelle definition og viser tilbage til dens elementer.

Et godt eksempel er definitionen af en gruppe i elementær algebra. Her ved vi, at de hele tal under addition, (\mathbb{Z},+,0), udgør en gruppe. Men et andet kanonisk eksempel man bør have med er mængden af alle invertible matricer over \mathbb{R} og multiplikation som kompositionsregel. Det er dels et eksempel, der viser at gruppens kompositionsregel ikke behøver være kommutativ, dels et eksempel, der viser at lukkethed under inverst element kan være lidt snedig at definere.

Den svære balancegang er nu at sikre disse kanoniske eksempler en særlig status og samtidig forklare, hvordan eksemplerne er kanoniske.

 

(Visited 34 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

Skriv et svar