Tårn og muldvarpeskud

molehill1
I baggrunden ses et antal tårne.

I dag er det tid til tilståelser. Når jeg havner til et seminar om matematisk analyse, står jeg desværre hurtigt af. Jeg nåede aldrig længere end til målteori; differentialgeometri og algebraisk topologi er jeg aldrig blevet undervist i, og jeg har aldrig haft brug for det. Men hvis jeg havner til et seminar om f.eks. grafteori eller kombinatorik, kan jeg som regel følge med pænt meget længere. Underligt for så vidt, for da jeg studerede matematik, var det ikke emner, der var del af pensum, og min viden om disse emner er temmelig usystematisk.

På andre tidspunkter sidder jeg og bliver misundelig på “rigtig” matematik; min egen forskning i teoretisk datalogi virker af og til som konstruktionen af en lav mur af muldvarpeskud, der nemt kan fjernes med en skovl, mens netop matematisk analyse fremstår som et elegant tårn, hvis grundsten blev lagt af Newton og Leibnitz.

Og da er det at jeg kommer til at tænke på en artikel af Timothy Gowers om matematikkens “to kulturer”. Gowers skriver:

The “two cultures” I wish to discuss will be familiar to all professional mathematicians. Loosely speaking, I mean the distinction between mathematicians who regard their central aim as being to solve problems, and those who are more concerned with building and understanding theories. This difference of attitude has been remarked on by many people, and I do not claim any credit for noticing it.

Hans pointe er at matematisk analyse befinder sig i den éne, teoritunge kultur, mens “kombinatorik” (han bruger dette begreb så bredt, at det også ender med at omfatte datalogi!) er i den problemdrevne kultur. Af og til bliver det også for sådan en som mig tydeligt, at der er modsætninger mellem dem – tårnet mod muren af muldvarpeskud. Gowers skriver:

One can almost imagine a gathering of highly educated mathematicians expressing their incredulity at the ignorance of combinatorialists, most of whom could say nothing intelligent about quantum groups, mirror symmetry, Calabi-Yau manifolds, the Yang-Mills equation, solitons or even cohomology. If a combinatorialist were to interrupt such a gathering and ask roughly how many subsets of \{1, 2, . . . , n\} can be found such that the symmetric difference of any two of them has size at least n/3, the response might very well be a little frosty.

Hans pointe er at den “problemdrevne” matematik bestemt ikke handler om ubetydelige resultater – næppe mange tør vel affærdige Paul Erdös’ værk som ubetydeligt – men at bidragene her måske ikke er Den Store Samlende Teori, men nyttige generelle teknikker. Et kendt eksempel er de probabilistiske argumenter, som dukker op i bl.a. Ramsey–teori og som skyldes netop Erdös.

På samme måde kan man, vil jeg hævde, forstå teoretisk datalogi ud fra de generelle teknikker, der dukker op, snarere end for Den Store Samlende Teori. Datalogi er i høj grad en problemdrevet videnskab. Derfor bør vi gøre mere for at synliggøre de generelle matematiske teknikker, der dukker op i teoretisk datalogi – det er teknikker som f.eks. reducibilitet i rekursionsteori, diagonalisering i kompleksitetsteori, induktion/koinduktion i denotationel semantik og rekurrenser i algoritmeanalyse – og ikke kun håbe på at kunne bygge det store tårn i et anfald af misundelse. Omvendt vil jeg også gerne have at de, der befinder sig i et stort tårn, kan betragte muldvarpeskud uden at se ned på dem (om man så må sige).