70 millioners forskel

zhang
Yitang Zhang

mochizuki
Shinichi Mochizuki

11 og 13 er gammeldags karakterer – men også to primtal med en afstand på 2. Der er 17 og 19. Der er 51 og 53. Og så videre. Det er stadig et åbent problem om der findes uendeligt mange primtalspar. Men nu hævdes det at Yitang Zhang fra University of New Hampshire har bevist at der findes uendeligt mange par af primtal (p_1,p_2) hvor p_2 - p_1 \leq 70.000.000, dvs. at der er uendeligt mange par af primtal der “kun” er parvis forskellige med højst 70 millioner.

Dvs. der findes nu allerede et meget stærkere resultat, nemlig at der findes uendeligt mange primtalspar med en afstand på 16, men faktisk er dette ikke en sætning – i beviset anvender man nemlig Elliott og Halberstams formodning, der meget passende udtaler sig om hvordan primtal optræder i en aritmetisk progression.

Jeg kan ikke lade være med at tænke på Shinichi Mochizukis bevis for abc-formodningen, der befinder sig i 4 artikler på i alt 512 sider (man aner at det begyndte som en note på 2 sider, der efterhånden successivt fordobles i sideantal). ABC-formodningen er en påstand i talteori:

For ethvert \epsilon > 0 findes der kun endeligt mange tripler (a,b,c) \in \mathbb{N}^3 hvor a,b,c er indbyrdes primiske og a+b=c, så c > d^{1 + \epsilon}, hvor d betegner produktet af alle de forskellige primfaktorer i abc.

ABC-formodningen og formodningen om primtalspar har to ting til fælles: Der er tale om påstande, der er elementære at formulere og nogenlunde intuitivt plausible men hvor beviserne for dem tilsyneladende er meget omfattende. I en artikel om Mochizukis arbejde siger en kollega:

“His other papers – they’re readable, I can understand them and they’re fantastic,” says de Jong, who works in a similar field. Pacing in his office at Columbia University, de Jong shook his head as he recalled his first impression of the new papers. They were different. They were unreadable. After working in isolation for more than a decade, Mochizuki had built up a structure of mathematical language that only he could understand. To even begin to parse the four papers posted in August 2012, one would have to read through hundreds, maybe even thousands, of pages of previous work, none which had been vetted or peer-reviewed. It would take at least a year to read and understand everything. De Jong, who was about to go on sabbatical, briefly considered spending his year on Mochizuki’s papers, but when he saw height of the mountain, he quailed.

“I decided, I can’t possibly work on this. It would drive me nuts,” he said.

Bare den første artikel ser voldsom ud. Mochizuki skriver som noget af det første:

Unlike many mathematical papers, which are devoted to verifying properties of mathematical objects that are either well-known or easily constructed from well-known mathematical objects, in the present series of papers, most of our efforts will be devoted to constructing new mathematical objects.

Det minder måske lidt om at etablere en kæde af restauranter, fordi man er rigtig sulten.

I arbejdet med automatisk bevisførelse optræder begrebet beviskompleksitet som mål for størrelsen af et bevis (på samme måde som beregningskompleksitet angiver omfanget – tids- eller pladsforbrug – af en beregning). Gad vide om vi for de simple, men svære matematiske påstande har at gøre med en situation, hvor nogle tilsyneladende simple påstande nødvendigvis have urimeligt lange beviser  – ligesom der er findes beslutningsproblemer, der er “født svære”.

(Visited 77 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

Én kommentar til “70 millioners forskel”

Skriv et svar