Tre niveauer af matematisk præcision

rigorous

Der er ikke noget godt dansk ord for det engelske rigour (som i USA vanen tro staves rigor). Ordet betegner en blanding af matematisk modenhed og matematisk præcision i notation og ræsonnement. Ordet ville på dansk have nogle lidt trælse konnotationer af dødsstivhed, og det er heller ikke positivt at være rigoristisk. Lad mig her tale om matematisk præcision i mangel af bedre. I virkeligheden ser man ofte hvad matematisk præcision er, når den ikke er til stede.

Der er flere niveauer af matematisk præcision. Det første niveau ser man bl.a. hos de studerende, der slet ikke anvender matematisk terminologi og tyr til dagligsproget med lange og ordrige forklaringer. På overgangen til næste niveau ser jeg bl.a.  studerende der bruger selvopfunden terminologi (f.eks. de berygtede “finitte sæt af finale stadier”) og skriver “beviser”, der i virkeligheden bare er lister af (muligvis) korrekte påstande. De samme studerende vil ofte blive forvirrede, når man spørger dem om hvordan et begreb er defineret. Typisk bliver de usikre på om begrebet overhovedet har en definition, og måske bladrer de febrilsk i bogen for at finde ud af hvor den mon er.  Det kan være meget krævende at undervise studerende på dette niveau – det er svært at kommunikere med mennesker, som man endnu ikke har et sprog fælles med.

Der er andre studerende, der er vel ankommet til andet niveau. De kan godt læse en matematisk tekst, ved at symbolerne refererer til bestemte matematiske objekter og ved hvad manipulationer af symboler svarer til på “objektniveau”. De pågældende studerende går omhyggeligt frem – dvs. lige til de ser et symbol, de ikke har set før, eller der står et symbol på et uvant sted.  Så går den studerende i stå og skal bruge en del hjælp på at få “fejlen” (det kan være en fejl, men det er bestemt ikke altid tilfældet) neutraliseret. Det er som en compiler, der har set en syntaksfejl og nu ikke kan generere eksekverbar kode. Det kan være lige så krævende en oplevelse at skulle forklare en studerende, der har lavet en sådan fejl, hvori fejlen består, som det kan være at forklare notation for studerende på det første niveau.

Og så er der det tredje niveau, hvor man godt kan skrive det hele præcist op (eller ned) ved brug af notationen og bevise alle de små dele af beviset i blodig detalje, men ikke rigtig har så meget brug for det. Nu kan man vende tilbage til “det store billede” og f.eks. bruge geometrisk intuition om $latex \mathbb{R}^2$ til at tale om topologiske rum, selv om man godt ved at de fleste topologiske rum bestemt ikke har noget med $latex \mathbb{R}^2$ at gøre. PhD-studerende skal nå dette niveau, og en del specialestuderende når det heldigvis også. Det er her, det bliver rigtig sjovt at kommunikere – men også her, de mest mudrede faldgruber findes. Når man slår ud med armene, ender man let i et hul.

Den amerikanske matematiker Terence Tao har (som så ofte før) et interessant blogindlæg om netop dét. Det, han hæfter sig ved, er hvor svært (og nødvendigt) det er at nå til det tredje, post-rigorous niveau. Vi bruger en masse krudt på at få studerende løftet op fra niveau 1 – og det er også vigtigt. Men vi skal også gøre en indsats for at løfte i hvert fald nogle af dem videre op og for at få mest muligt ud af det tredje niveau.

To af Taos råd til at nå til og vedligeholde sig selv er at stille sig selv dumme spørgsmål og at genlære sit område. Især det sidste er en strategi, der er til stor nytte for mig. Når jeg prøver at undervise inden for mit eget forskningsområde (det er desværre sjældent, det kan lade sig gøre  der hvor jeg er havnet), lærer jeg altid noget helt nyt om det, jeg troede jeg kendte godt.Jeg lærer især at opbygge en ny intuition, når jeg skal forlader den pæne symbolmanipulation. Det sker ofte, når jeg skal motivere definitioner og forklare hvorfor sætninger er interessante.

Flattr this!