Intuitionisme og ægteskaber

Intuitionismens fader L.E.J. Brouwer var gift.
Intuitionismens fader L.E.J. Brouwer var gift.

Her er en lille gåde fra The Guardian (oversat til dansk)

Jørgen kigger på Birthe, men Birthe kigger på Preben. Jørgen er gift. Preben er ikke gift. Er der en gift person, der kigger på en ugift person?

Mange er her tilbøjelige til at sige at “det ved vi ikke” – vi ved ikke om Birthe er gift eller ej. Men svaret er ja.

Ræsonnementet er dette. Birthe er enten gift eller ugift. Hvis Birthe er gift, kigger Birthe på Preben – og da er der en gift person, der kigger på en ugift person. Hvis Birthe er ugift, kigger Jørgen på Birthe. Og igen er der en gift person, der kigger på en ugift person.

Men gåden forudsætter det, der kaldes Det Udelukkede Tredjes Princip – for enhver påstand p har vi at enten p eller \neg p er sand. Dette princip afvises af intuitionistiske matematikere (og andre konstruktive matematikere). Begrundelsen er denne: For at en matematisk påstand skal kunne kaldes sand, skal der være et bevis for den. For at en matematisk påstand skal kunne kaldes falsk, skal vi have et modbevis for den.  Men tag et åbent problem i matematik (\mathrm{P=NP}, Riemann-hypotesen eller hvad nu) – for sådanne påstande kan vi ikke hævde at de enten er sande eller falske.

Påstanden “Birthe er gift” er nem at bevise eller modbevise, hvis Birthe er en eksisterende person. Så dette falder ikke ind under klassen af åbne problemer. Men her er en anden udgave, der viser problemet. “Birthe” er her \mathrm{P=NP} .

På et ark papir står der matematiske påstande på nogle af linjerne. Påstanden 2+2=4 står på linjen over \mathrm{P=NP}. Påstanden \mathrm{P=NP} står på linjen over påstanden 2+2=5. Er der en påstand, der står lige over en påstand med modsat sandhedsværdi?

Her vil intuitionisten kunne hævde at vi ikke har oplysninger nok til at kunne svare, mens den klassiske matematiker igen vil svare ja.

(Visited 184 times, 1 visits today)
Loading Facebook Comments ...

Skriv et svar