Noget om at formulere opgaver

NZ Qualifications Authority Lvl 1 Math/Stats Exam 2017 by The Guardian on Scribd

På det seneste har jeg tænkt en del over den vigtige rolle, som opgaver spiller i matematik og beslægtede fag.

I går fik jeg besøg på universitetet af en gymnasieelev, der laver en større skriftlig opgave i matematik og har valgt at fokusere på kompleksitetsteori. Hendes matematiklærer er en af mine gamle specialestuderende, og det viste sig endda også at hendes far var en, jeg også engang har undervist – og han var sidenhen adjunkt i datalogi på AAU i en årrække. Verden er lille! Hun spurgte mig, om jeg mon ikke kendte nogle gode opgaver om kompleksitetsteori, for hun syntes, hun lærte rigtig meget ved at løse opgaver. Jeg gravede lidt og fandt frem til Problems on Algorithms, der er en opgavebog af Ian Parberry og William Gasarch. Selve bogen står ikke længere på min hylde; nogen har vel lånt den og aldrig leveret den tilbage. Men den ligger nu frit tilgængeligt på WWW. Problems on Algorithms er en af de alt for få opgavebøger på universitetsniveau, jeg kender.

Og det var også i denne uge, der har været røre om en skriftlig eksamen i matematik fra high school i New Zealand; der er tale om det, der svarer til studentereksamen. En del lærere har givet udtryk for at de selv havde bøvl med at regne opgaverne, og en del elever, der ellers har fået gode karakterer i matematik, har givet udtryk for det samme. Og måske var netop denne eksamen for svær for eksaminanderne fra New Zealand, men jeg er ikke den rette til at vurdere det. Jeg synes ikke selv, den virker så slem, men jeg er også uden for målgruppen.

Det ovenstående rører ved noget af det, der er svært, men samtidig er noget, vi kun sjældent taler om som undervisere i matematisk orienterede fag: Det er en vigtig, men svær kompetence at finde på velegnede opgaver.  Ét er at opgaverne skal indfange de rigtige læringsmål. Et andet er opgavernes omfang og sværhedsgrad. Og et tredje er at bevare og indsamle de gode opgaver til efterslægten – og at lade de dårlige opgaver gå i glemmebogen i stedet for i opgavebogen.

Hvad er en god opgave så? Hvis man får sagt dette på den forkerte måde, kommer det til at lyde arrogant: Men det er min erfaring, at den samling opgaver, man stiller, skal være opgaver, man selv ville kunne løse på i alt ti minutter. Da vil det tage en gennemsnitlig studerende to timer at løse opgavesættet. Og nej, dette skyldes ikke, at underviseren er meget klog og at dem, der bliver undervist, er dumme, men derimod at man som underviser har en erfaring med og et overblik over stoffet, som de studerende, der først nu skal til at lære stoffet, af gode grunde ikke har. Formodentlig er det her, opgavesættet fra New Zealand har fejlet. Opgaverne har virket udfordrende på den, der stillede den, men det var netop dét, de ikke skulle være.