Hvem ejer dine bøger, og hvem må læse dem?

Vi har vores billeder til at ligge på Picasa, og der redigerer vi dem også. Vores dokumenter behander vi hos Google Docs. Vi køber Kindle-bøger hos Amazon. Vi har data, der skal deles, på Dropbox. Snart opretter Apple en iCloud, hvor vi kan placere e-mail, musik osv. Cloud computing, skybaserede tjenester eller hvad man nu skal kalde det, er kommet – og formodentlig for at blive.

Men hvem ejer indholdet af skyen, og hvem må læse med? I en artikel i Technology Review behandler Simson L. Garfinkel dette mildest talt ømtålelige problem. Ligesom det er tilfældet i andre sammenhænge, er lovgivningen ikke klar til at håndtere de problemer, som informationsteknologien har ført med sig.

Et eksempel, som Garfinkel nævner, er en Kindle-bog, som Amazon tilbagekaldte, da der viste sig at være problemer med ophavsretten. Amazon slettede simpelthen bogen hos alle, der havde den i deres Kindle-bibliotek. Tænk, hvis en boghandler gik ind i alle hjem for at hente en bog på reolerne. I dette tilfælde var bogen forresten 1984 af George Orwell.

Der er andre problemer – f.eks. må en Kindle-bog ikke overdrages til andre efter endt læsning, mens antikvariater for fysiske bøger som bekendt har været en realitet længe. Og ejerne af Dropbox-serverne må gerne slette de filer, der ligger der.

En løsning er påkrævet. Måske er det mest oplagt, som Garfinkel da også nævner, at udstrække eksisterende love om opmagasinering til også at omfatte data i “skyerne”. Om dette er en holdbar løsning, er jeg desværre ikke jurakyndig nok til at kunne vurdere.

Ramsey og de andre

Ligesom rockmusikken har matematikken sine “unge døde”. De fleste kender Galois og Abel, men der er også bl.a. Ramsey. Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) var en engelsk matematiker fra Cambridge, der interesserede sig for lidt af hvert – matematisk økonomi, filosofi og matematisk logik. I hans artikel “On a problem of formal logic”, der omhandler afgørbarheden af et fragment af første-ordens-logik, optræder et lille kombinatorisk lemma, som i dag kendes som Ramseys sætning og endte med at danne grundlaget for et område af grafteori, som i dag kendes som Ramsey-teori.

Én måde at formulere Ramseys sætning på er denne (vi antager at 0 ikke er et naturligt tal).

Lad n \in \mathbb{N} og c \in \mathbb{N}. Lad C = \{ 1,..,c \}. Betragt \mathbb{N}_n, mængden af alle delmængder af \mathbb{N} med n elementer. Betragt en vilkårlig farvningsfunktion f, der giver hver delmængde én af c mulige farver, dvs. f: \mathbb{N}_n \rightarrow C. Da findes der en uendelig delmængde \mathbb{M} \subseteq \mathbb{N} og en farve k således at for enhver S \in \mathbb{M} har vi at f(S) = k.

Sagt på mere jævnt dansk, uanset hvordan vi farver n-delmængderne af de naturlige tal med endeligt mange farver, kan vi altid udvælge en uendelig delmængde af de naturlige tal, således at alle dennes n-delmængder har samme farve.

Man kan vise, at den udgave af Ramseys sætning, som grafteoretikere kender, er en konsekvens af ovenstående. Se f.eks. Wikipedia for en gennemgang heraf.

Hvorfor så hele denne smøre? Jo, man kan faktisk bruge Ramseys sætning i datalogi til bl.a. at bevise at algoritmer terminerer. Der findes ingen generel strategi i form af en algoritme; det ved vi fra Turing. Men der er nogle bevistaktikker, der ofte dukker op. Ofte bruger man en strategi, hvor man definerer en velordning (\mathbb{O},\sqsubseteq), hvor punktmængden \mathbb{O} typisk er en mængde af tupler af variabelværdier. Derefter definerer man en funktion f : \mathbb{O} \rightarrow \mathbb{O} og viser at f(o) \sqsubset o efter hvert gennemløb af algoritmens hovedløkke. Da \sqsubseteq er en velordning, betyder det at der engang vil blive fundet en minimal o-værdi, og da terminerer løkken. Det bøvlede er her dels at finde frem til en god velordning, dels at finde en god f-kandidat.

Men Cook, Podelski og Rybachenko bruger altså Ramseys sætning til at bevise terminering. Læs deres artikel fra LICS (Logic in Computer Science) eller start med den korte introduktion, som Bill Gasarch har lavet – eller start med at læse indlægget herom på hans blog. Det gjorde jeg selv.

Ramsey nåede ikke at opleve noget som helst af alt dette. Han døde af gulsot få uger inden sin 27-års fødselsdag.

Gödel – altid misforstået

Jeg blev tidligt fascineret af Kurt Gödels resultater om ufuldstændighed; jeg kan huske at jeg lånte en bog om grafteoriens historie, der sluttede af med nogle refleksioner over dette vigtige resultat. Kort tid efter udsendte min daværende Mat 1-vejleder Preben D. Vestergaard sin bog Løste og uløste matematiske problemer, og heri skrev han også om Gödels sætninger. Efterhånden blev jeg opmærksom på at også personer helt uden baggrund inden for matematik – ofte sociologer og andre – begyndte at inddrage Gödels ufuldstændighedssætning i deres diskurs. Alle mulige interessante konklusioner om Guds eksistens, umuligheden af et socialistisk samfund med total retfærdighed og umuligheden af metoder til systemudvikling væltede frem.

Til sidst kom dagen, hvor jeg selv blev i stand til at sætte mig ind i hvad Gödels sætninger udsiger, og fra da af har jeg været træt af misbruget af Gödels sætninger uden for det område, hvor man rent faktisk kan tillade sig at bruge dem. Det gik op for mig, at Gödels resultat om fuldstændighed af førsteordens-logik er et lige så vigtigt resultat inden for matematisk logik. Det er det resultat, der fortæller os at en førsteordens-formel \varphi er bevisbar fra hypoteserne \Gamma ud fra aksiomerne og reglerne i førsteordens-logik, skrevet \Gamma \vdash \varphi hvis og kun hvis \varphi er sand i alle de strukturer, hvor alle hypoteser i \Gamma er sand, skrevet \Gamma \models \varphi. Dvs. at bevisbarhed er det samme som sandhed i førsteordens-logik; $\latex \models$ og \vdash er den samme relation. Men det er en sætning, ikke ret mange, der ikke har fulgt egentlige kurser i logik kender til.

Men nu tilbage til ufuldstændighedsresultaterne, som der er flere af. Det, de fleste når til, og kløjs i, er det første resultat. Det er det, der siger at der i en “tilstrækkeligt stærk” teori inden for førsteordens-logik findes en formel \varphi\Gamma \models \varphi men at vi samtidig har at \Gamma \not\vdash \varphi. Hvad er så en “tilstrækkeligt stærk” teori? Det er en teori, der ud over de rent logiske aksiomer, der fortæller om kvantorerne (\forall og \exists) og konnektiverne (\vee, \wedge og \neg) indbefatter Peanos aksiomer for de naturlige tal og principperne om at man kan definere de såkaldte primitive rekursive funktioner over de naturlige tal (eller rettere: funktioner af type \mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N} for alle k).

Gödels trick er at kode bevisbarhedsrelationen ved brug af de naturlige tal og primitive rekursion. På en måde er hans bevis et meget tidligt Haskell- eller ML-program!

Her er vi allerede langt væk fra sociologi og postmodernisme, som man kan regne ud.

Det bliver ikke bedre for sociologerne med det andet ufuldstændighedsresultat, der siger at man inden for en “tilstrækkeligt stærk” teori (i samme forstand som ovenfor) kan bevise at teorien er konsistent hvis og kun hvis teorien faktisk er inkonsistent.

Sociologiske teorier, politiske anskuelser, religion osv. er ikke formelle logiske teorier. Nogle af dem er ubestrideligt primitive, men der er ikke megen primitiv rekursion over dem af den grund.

Den svenske logiker Torkel Franzén, som jeg i sin tid fulgte på nyhedsgrupperne på Usenet (inden for alle mulige emner lige fra matematik til film) og nogle få gange e-mail-korresponderede med (om småting), var lige så træt af alle misforståelserne af Gödels resultater som jeg er. Men han havde kompetencen og energien til at gøe noget ved det; i 2005 skrev han en bog, Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. Hvis man ikke har kræfter til at binde an med den, kan man starte med Franzéns lille, velskrevne artikel i Notices of the AMS.

Jeg nåede desværre aldrig at møde Torkel Franzén. Han døde i 2006, kun 56 år gammel.

Om Kurt Gödel kan der fortælles meget, men det må vente til en anden dag.

Erfaringer og kvalitet


Engang lavede Jyllands-Posten en undersøgelse af datalogiuddannelser i Danmark, og her var det Aalborg Universitet, der kom ind på førstepladsen som den datalogiuddannelse, hvor de studerende var mest tilfredse. Jeg har prøvet at finde frem til undersøgelsen, men forgæves. Ville en tilsvarende undersøgelse i dag give samme svar? Jeg er i tvivl. Min fornemmelse er nemlig, at de studerendes tilfredshed er for nedadgående og at en af årsagerne er de vilkår, vi byder dem.

En lang række politiske beslutninger har efterhånden drastisk ændret vilkårene for alle universitetsuddannelser – forbud mod gruppeeksamen, universitetsloven af 2003, stramninger af SU-regler, taksameterfinansiering og så fremdeles. Der er kommet et overvældende fokus på konkurrence om midlerne, og det er blevet stadigt sværere at gøre karriere som universitetslærer. Mange akademikere er i dag har kortvarige ansættelser i PhD-stipendier eller postdocs, og mange undervisningsopgaver løses i dag af disse løstansatte medarbejdere, hvoraf ganske mange kommer fra udlandet.

Dette kan ikke undgå at gå ud over undervisningens kvalitet. Det er hverken sjovt for de normalt meget pligtopfyldende løstansatte undervisere, der hyppigt kastes ud i nye opgaver, eller for de studerende. På første studieår på Aalborg Universitet er det store mål, at de studerende skal lære at lave problemorienteret projektarbejde og dermed blive i stand til at lære at lære. De studerende er uerfarne (i sagens natur), men hvis deres vejleder også er det – og måske endda ikke kan tale og forstå dansk – er der yderligere et problem.

Lad mig skynde mig at understrege, at dette ikke er den enkelte vejleders skyld som sådan, og at jeg bestemt ikke er ude på at følge en dansk tradition med at give dem, der kommer hertil fra udlandet, skylden. Det er i høj grad kombinationen af den proces, hvorunder tildelingen af arbejdsopgaver finder sted, og de faktiske underviserresurser, der skaber situationen. “Kvalitet af undervisningen” er blevet et smukt, men tomt begreb i stil med “ligestilling” og “tolerance”. Ligesom ingen indrømmer at være ligeglade med ligestilling eller tolerance, vil ingen indrømme at de er ligeglade med kvaliteten af undervisningen.

Og nu går der kortvarigt politik i det (men forsigtigt): Husk, at der snart er folketingsvalg. Når I stemmer, så tænk over, hvad politikerne siger (og ofte ikke siger) om hvordan de vil sikre kvaliteten af uddannelserne.

Men vi kan samtidig også gøre noget selv: Vi kan blive bedre til at formidle vores erfaringer videre. En del af det, der er gået galt, er at underviserne er nødt til genopdage undervisningen igen og igen. Undervisere fra udlandet gør sig erfaringer igen og igen, men de bliver aldrig formidlet systematisk videre til andre, der kommer fra udlandet. Og meget ofte får en PhD-studerende en vejledningsopgave af en bestemt art én gang og siden aldrig mere. Tænk, hvis vi kunne systematisere erfaringsopsamlingen. Der findes en portfolio-tanke, hvor man samler sine undervisningserfaringer på systematisk vis. Men dels er der mange, der ikke bruger nogen portfolio, dels er en sådan portfolio af privat natur.

Megen erfaringsudveksling sker på tomandshånd og anekdotisk. Kunne man også lave en systematisk overdragelse af erfaringer, der samtidig evaluerer på undervisningen? En blandt mange muligheder er, at en underviser altid skriver et brev til de undervisere, der skal overtage hans/hendes opgaver. Her skal underviseren fortælle om det, der gik godt og det, der gik mindre godt – og komme med forslag til forbedringer. Hvis man så samtidig har adgang til gamle breve fra andre undervisere (og disse gøres tilgængelige for alle), får man et redskab til at viderebringe og reflektere over erfaringer.

Alan Turing – og lineær algebra

20110817-022428.jpg

I et indlæg giver Alexandre Borovik et interessant indblik i lineær algebras historie.

I dag ved de fleste, der har bestået et kursus i lineær algebra, at vi kan løse n lineære ligninger i n ubekendte ved at se dem som en ligning A\vec{x} = \vec{b}, hvor A er en n \times n-matrix, og finde \vec{x} = A^{-1}b (hvis A er invertibel).
Vi ved også godt, at man i stedet kan bruge Gaussisk eliminering, men at invertering af A er en god strategi, hvis man har flere lineære ligningssystemer med samme A. Så koster ligningsløsning ikke nær det samme mht. dyre matrixoperationer.

Det er tilsyneladende vores alle sammens Alan Turing, vi kan takke for denne indsigt – der både har at gøre med lineær algebra og er et tidligt forvarsel om kompleksitetsteori.

Om at gøre køleskabet rent

Her sidder jeg allerede med dagens første overspringshandling. Foran mig venter arbejdet med at bevise to sætninger (som egentlig kun er formodninger i skrivende stund), der er hovedresultaterne i en artikel, jeg er ved at skrive. Det er ikke overraskende resultater; de handler om det, der hedder sundhed og sikkerhed af et typesystem. For at bevise disse resultater skal jeg først etablere nogle lemmaer. I denne del af teoretisk datalogi laver jeg en masse induktive definitioner af relationer, og når jeg skal bevise egenskaber ved disse relationer, er bevisstrategien oplagt: induktionsbeviser. Hele herligheden minder om at gøre køleskabet rent og derefter manuelt afrime fryseren: jeg ved præcis, hvad jeg skal gøre, jeg ved, i hvilken rækkefølge det skal gøres og cirka hvor lang tid det vil tage og det er ikke særlig spændende, men man er nødt til det.

I sædvanlig matematik er der selvfølgelig også fyldt med kedelige beviser for kedelige sætninger, men heldigvis er der også de overrumplende – og overrumplende smukke – beviser for vigtige sætninger. Når man ser dem, ved man hvorfor ordet “elegant” har sin berettigelse også i denne verden. En interessant bog propfyldt med denne form for elegance er Proofs From The Book af Martin Aigner, Günter M. Ziegler og Karl H. Hofmann. Her er der smukke beviser for alt fra Pythagoras’ sætning til noget nyere, men stadig klassiske resultater fra bl.a. analyse, algebra og grafteori. Bogen – “The Book” – er Paul Erdös’ navn for “den store bog i himlen”, hvor alle de bedste beviser for sætningerne findes.

Mine egne køleskabsbeviser står temmelig sikkert ikke i bogen i himlen. Men én ting lærer jeg, når jeg laver dem: det store udredningsarbejde består i virkeligheden i at få tryllet definitionerne frem på en form, så beviserne falder let ud. Måske er det i virkeligheden typisk sådan, metodologien er. Og hvis det er tilfældet, er det vel et argument for den omdiskuterede matematikfilosofiske påstand, at matematiske udsagn er analytiske – dvs. at deres sandhed er selvindeholdt og derved følger af udsagnet selv.

 

Epsilon og delta og store O

Når jeg har vejledt projekter, hvor studerende skulle anvende asymptotisk notation til at analysere funktioners vækstrate, er der altid nogle hindringer for forståelsen. Definitionen er egentlig enkel nok.

Lad f og g være funktioner over de naturlige tal. Vi siger at f = O(g), hvis der findes en positiv reel konstant c og et naturligt tal n_0 således at f(n) \leq c \cdot g(n) for alle n > n_0.

Hvis betingelsen gælder, når det bløde ulighedstegn ovenfor gøres skarpt, har vi at f = o(g).

Vi kan så indføre notationen O(f) for at skrive et led h, hvorom vi blot ved at h = O(f) og skrive f.eks.

(x+4)^2 = x^2 + O(x)

Asymptotisk notation stammer fra talteori og dukker op første gang hos Paul Bachmann helt tilbage i 1894. Datalogistuderende kender dog asymptotisk notation fra algoritmeteori, hvor de funktioner, der bliver sammenlignet, er kompleksitetsfunktioner. Derfor kan man opleve forbløffende mange studerende sige at “O-notationen bruges til at måle kompleksitet” eller, om muligt endnu værre, at “O-notationen bruges til at måle funktioners kompleksitet”.

Den legendariske amerikanske matematiker og datalog Donald Knuth skrev i 1988 et kort brev til AMS (American Mathematical Society), hvori han slog til lyd for, at man skulle lære de studerende differential- og integralregning ved brug af netop O-notation. Hans tanke er, at dette skulle være nemmere i læringssammenhæng. Om det er rigtigt, ved jeg ikke. Men når man skal definere f.eks. den afledede af en reel funktion, bliver det nemmere. For da kan vi sige, at f for værdien x er differentiabel med afledet f'(x), hvis der for et tilstrækkeligt lille \epsilon gælder at

f(x+\epsilon) = f(x) + f'(x)\epsilon + O(\epsilon^2)

Nu er det nemt at finde den afledede af f(x) = x^2, for

(x+\epsilon)^2 = x^2 + 2x\epsilon + \epsilon^2

Kontinuitet kan formuleres således: f er kontinuert i x hvis

f(x+\epsilon) = f(x) + o(1)

Jeg ved som sagt ikke, om ideen er god i didaktisk sammenhæng. Men den giver en interessant vinkel på reel analyse. Det gode er, at de kvantorer, der hærger epsilon-delta-definitionerne i analyse, nu i stort omfang er skjult i definitionen af asymptotisk notation. Det er stadig mandag formiddag, og jeg har ikke tænkt over, om det ved brug af asymptotisk notation bliver nemmere at forstå f.eks. den kontraponerede udgave af kontinuitetsdefinitionen, som trækker tænder ud på mange matematikstuderende. Men nogen bør tænke over det.

Man kan finde \TeX-filen med Knuths brev her (og husk, at det er \TeX, ikke \LaTeX!).

En toprocentsløsning ?

Så er optagelsestallene for datalogi- og software-uddannelserne på Aalborg Universitet klar. Blandt de datalogi-studerende er der 2%, der er kvinder. Også på software-uddannelsen er der kun optaget én kvindelig studerende.

Hvorfor er det bekymrende? vil nogle sikkert spørge. Det er så bare ikke nogle fag, der tiltrækker kvinder, og sådan er dét, vil de sige. Men de, der bagatelliserer problemet, glemmer, at der faktisk engang var langt flere kvindelige studerende på datalogi. I 1970’erne var det op mod 40 procent. Og i andre lande – f.eks. Italien – er kønsfordelingen også i vore dage langt mindre skæv end i Danmark. Så noget er gået galt.

Hvad man skal gøre ved det, ved jeg ikke. For nogle få år siden prøvede jeg at starte en diskussion på mit institut, og der var da også en del interesse. Men derved blev det, og nogle egentlige større initiativer er det desværre aldrig blevet til. Tingenes tilstand er i al fald en kilde til undren og ærgrelse for mig, og det giver heller ikke vores fag noget særlig godt image. På dén måde kan problemet være selvforstærkende.

En amerikansk bog, Unlocking the Clubhouse af Jane Margolis og Allan Fisher, omtaler en række initiativer i USA med basis i Carnegie-Mellon University i Pittsburgh. Mange af disse initiativer drejer sig om kontakten til ungdomsuddannelserne. Og initiativerne har båret frugt – fra en andel af kvindelige studerende ved Carnegie-Mellon på 7% i 1995 steg andelen til 42% i 2000. Hvorfor gør vi ikke noget lignende her i Danmark?

Og for en god ordens skyld: Billedet ovenfor er forside på et nummer af en amerikansk tegneserie, som man kan læse mere om på dens eget websted.

3n + 1

Et velkendt problem på grænsefladen mellem talteori og algoritmeteori er Collatz’ formodning. Det skyldes den tyske matematiker Lothar Collatz, stammer fra 1937 og er meget nemt at forklare:

Vælg et naturligt tal n som x_0.

Sæt nu x_{i+1} = 3n+1 hvis n er ulige og x_{i+1} = n/2 hvis n er lige.

På denne måde får vi en følge af værdier x_0, x_1, x_2, \ldots. Det er ikke svært at se, at hvis x_k = 1, vil følgen fra da af være periodisk med elementerne 1,4,2,1,4,2,\ldots. Det er meget nemt at skrive et lille program, der beregner værdierne i følgen, og det viser sig hurtigt, at med alle de startværdier man kan komme i tanke om, ender vi på et tidspunkt med værdien 1. Hvis det er ved x_k, vi når til 1 første gang, kalder vi k for følgens længde.

På grafen ovenfor kan man se følgens længde som funktion af startværdien for mindre værdier af denne.

Men gælder det virkelig altid at en følge har en længde? Dvs. når vi altid frem til 1 til sidst? Collatz’ formodning er, at det altid er tilfældet. I matematik er det som bekendt ikke nok med anekdotisk evidensgrundlag; der skal et generelt argument til. Den tyske matematiker Gerhard Opfer, som i sin tid havde Collatz som vejleder, har i år hævdet at have bevist Collatz’ formodning, men han har for nylig måttet trække sin påstand tilbage. Et lidt kynisk argument for at der måtte være en fejl er, at et påstået bevis på kun 11 sider næppe kan være korrekt! Paul Erdös sagde i sin tid, at matematikken endnu ikke er rede til at kunne levere et bevis – og tilbød 500 dollars i præmie til den, der kunne.

Men er Collatz’ formodning overhovedet vigtig? Som i så mange andre tilfælde er svaret, at det afhænger af definition af vigtighed. I en grundforskningssammenhæng er svaret et ubetinget ja, for som det er tilfældet for så mange andre åbne problemer i de matematiske fag, har arbejdet med Collatz’ formodning kastet en masse interessante matematiske opdagelser af sig. På Wikipedias udmærkede side om Collatz’ formodning kan man læse meget mere om disse.

F.eks. viste Kurtz og Simon i 2007, at man kan generalisere problemet til såkaldte Collatz-funktioner og bevise, at det er uafgørbart om en given Collatz-funktion og en given startværdi vil give en følge, der ender i 1. Beviset bygger på en generalisation af et resultat af John Conway, der kun kan håndtere startværdier på formen 2^k. Det spændende ved sådanne beviser for uafgørbarhed er, synes jeg, at de afslører at et begrebsapparat er “tilpas interessant”.

Kurtz og Simons resultat siger ikke noget om Collatz’ formodning. Formodningen handler ikke om afgørbarhed, og selve formodningen er trivielt afgør – den er jo enten sand eller falsk. Hvad der så faktisk er tilfældet, ved vi derimod ikke.

Alle har mødt hver deres Frege

Gottlob Frege, den tyske logiker og filosof, der levede fra 1848 til 1925, er en legende, og alene hans navn ansporer tilsyneladende til en rejse i fantasiens verden. En af mine gamle medstuderende kaldte ham Lille Frække Frege, og en kollega fandt senere på sangen “Jeg går og hedder Frege”. Historien om Freges korrespondance med Bertrand Russell i forbindelse med Russells paradoks er lavet af det stof, romaner er lavet af – og dukker da også op i tegneserien Logicomix, som Palle Raabjerg har anbefalet mig. Mere om det en anden gang.

I går sad jeg til et seminar, hvor en PhD-studerende fremlagde resultaterne fra første år af sit forløb. Jeg nævnte i den forbindelse lineær logik og her til morgen bestemte jeg mig til at kigge i mit gamle eksemplar af Proofs and Types, som er det første sted (mig bekendt) hvor Jean-Yves Girard præsenterer lineær logik i bogform. Bogen, forfattet af Girard sammen med Yves Lafont og Paul Taylor er i øvrigt nu frit tilgængelig i PDF-format fra Paul Taylors webside.

Jeg faldt over dette citat fra første kapitel, hvor Girard (skrivestilen afslører ham!) er i det filosofiske hjørne og taler om Gottlob Frege:

So, one of the most fundamental distinctions in logic is that made by Frege: given a sentence A, there are two ways of seeing it:

  • as a sequence of instructions, which determine its sense, for example A \vee B means “A or B”, etc..
  • as the ideal result found by these operations: this is its denotation.
    “Denotation”, as opposed to “notation”, is what is denoted, and not what denotes. For example the denotation of a logical sentence is t (true) or f (false), and the denotation of A \vee B can be obtained from the denotations of A and B by means of the truth table for disjunction.

Frege kaldte det første for Sinn, det andet for Bedeutung og skrev en hel bog med denne titel, Über Sinn und Bedeutung. Hvorfor blev jeg fanget ind af dette sted i teksten? Vel netop fordi det er her, vi kan se en stor forhindring i undervisning i både matematik og datalogi: mange studerende taler konsekvent om Sinn, mens vi underviser i Bedeutung.

Enhver, der har undervist i automatteori, vil opleve at mange studerende opfatter determinisering af nondeterministiske endelige automater som først og fremmest fortællingen om en algoritme, man skal udføre, mens vi i undervisningen opfatter determinisering som en udvidelse af overføringsfunktionen \delta fra at være \delta : Q \times \Sigma \rightarrow Q til at være en funktion over mængder \delta : \mathcal{P}(Q) \times \Sigma \rightarrow Q. Tilsvarende kan man opleve mange studerende, der opfatter en matematisk funktion f ikke som en binær relation, men som en forskrift, der fortæller os hvordan vi, givet et argument x beregner f(x).

Også i programmering støder man på forskellen – imperative sprog som C og dets mange efterkommere (C++, C#, Java osv.) er Sinn-sprog, mens applikative sprog stræber efter at være Bedeutung-sprog (men trods alt skal implementeres på en maskine!). Mange studerende hævder at kunne forstå imperative sprog, men også at have gevaldige kvaler med de applikative.

Jeg grubler over, hvordan vi kan få de studerende til bedre at forstå, at der både er Sinn og Bedeutung, så vi ikke kun forstår hver vores halvdel af Den Lille Frække Frege.