Kategoriarkiv: Matematik

Uganda i Dronninglund

This slideshow requires JavaScript.

I dag prøvede jeg for første gang at være med til at åbne en kunstudstilling – det var på Glocal Art, et galleri i nærheden af Dronninglund med fokus på afrikansk kunst. Frede Hansen, der ejer galleriet, er en af min hustrus kolleger, og han havde erfaret at jeg er aktivt medlem i Amnesty International. Derfor havde han for nogle måneder siden via hende spurgt om jeg ville holde en tale ved åbningen af en udstilling med billeder af Geoffrey Banadda fra Uganda og Anette Falk Lund, der oprindelig er fra Tyskland (og var til stede i dag; hun bor i Nordjylland). Så det gjorde jeg i dag.

Det var lidt af en udfordring, for jeg har aldrig været i Uganda – men til gengæld har jeg igennem mit virke i Amnesty International mødt flere menneskerettighedsaktivister fra Uganda.  Så dét fokuserede jeg på, og jeg prøvede også at betone at Amnesty Internationals budskab faktisk er positivt – at vi ikke bare sidder og svælger i beretninger om menneskers lidelser. Og jeg skulle også prøve at skabe en forbindelse til Tyskland, syntes jeg. Om det hele lykkedes, ved jeg ikke. Men gæsterne klappede, og Frede forærede mig sin bog om afrikansk kunst.

Bagefter var der påskebryg, sodavand og en risret fra Congo. Jeg fik tid til at gå rundt og se på billederne, og på ét af billederne fra Uganda opdagede jeg intet ringere end Fibonacci-tallene! 

Flere gæster ville gerne snakke med mig om Amnesty International – de fleste var medlemmer og undskyldte på det allerhøfligste at de ikke gjorde mere for menneskerettighederne end at betale deres kontingent! Det var bestemt ikke meningen, at de skulle være så brødebetyngede, men det var noget af en kontrast til den “vi betaler vores skat og det er allerede rigeligt”-holdning, jeg nogle gange støder på i andre sammenhænge.

Flattr this!

Alan Turing på film

The Imitation Game
En filmplakat fra Berlin.

Så fik jeg omsider set The Imitation Game. Jeg havde været temmelig skeptisk efter at have læst foromtalerne af filmen i bl.a. The Guardian, og det er da også tilfældet at der er nogle underlige unøjagtigheder i filmen. Men filmen var jeg nærmest forpligtet til at se, for jeg har ved flere lejligheder holdt foredrag om Alan Turings liv og virke og samtidig er han en af de helt centrale personer inden for det 20. århundredes matematik og datalogi.

Det er svært ikke at bemærke de åbenlyse fejl i filmen – der samtidig hævdes at være baseret på Andrew Hodges’ ekstremt grundige biografi. Jeg vil aldrig kunne forstå hvorfor det hele vejen gennem filmen hævdes at Turing er professor i Cambridge, når han nu faktisk var lektor i Manchester. Forhåbentlig har de brokket sig over dette i Manchester. Heller ikke skildringen af Alan Turings person svarer til det indtryk, man får fra Hodges.

Også skildringen af arbejdet i Bletchley Park-centret er underlig. Det virker som om Turing bare bøvler dag og nat på må og få med sin bombe (der i virkelighedens verden aldrig hed noget, og da slet ikke Christopher). Det var i høj grad Alan Turings statistiske analyser, der gjorde det muligt at foretage kryptanalyse af Enigma. Selvfølgelig er det korrekt at det bl.a. var opdagelsen af forekomsten af bestemte stykker klartekst i de tyske beskeder, der på afgørende vis hjalp i nogle tilfælde. Og endelig er historien om John Cairncross, der af Turing bliver afsløret som russisk spion, helt og aldeles konstrueret.

Det er også interessant at se en film, der nævner Eulers sætning – selv om Keira Knightley udtaler mandens navn som juu-ler. Gamle øgler som bl.a. undertegnede har lært en noget anden udtale. Så vidt jeg kan skimte (men det går jo hurtigt i en film) er der tale om en diskussion af modulær aritmetik, så Eulers sætning er her den sætning, som siger at a^{\varphi(n)} \equiv 1 hvis a og n er indbyrdes primiske (\varphi(n) er Eulers totientfunktion). Præcis hvor modulær aritmetik skulle være nødvendig i datidens kryptografi er til gengæld ikke klart for mig (og næppe heller for dem, der stod bag filmen).

Matematikken i filmen er ikke våset som sådan – der er en kort reference til beviset for irrationaliteten af \sqrt{2} og en kort samtale om den universelle Turing-maskine, omend det næppe er tilfældet at Turing tænkte på sin bombe som en universelt programmerbar maskine. Det var derimod tilfældet for Mark I-maskinen, han nogle år senere var med til at konstruere i Manchester.

Der er næppe heller noget belæg for at Alan Turing (sådan som filmens rammefortælling vil have det) pludselig skulle sidde og røbe en masse fortrolige oplysninger til en betjent i Manchester som reaktion på et indbrud.

Når alt dette er sagt, er der trods alt en særlig glæde ved omsider at se en film om en skikkelse, jeg har læst så meget om, og også billederne fra Bletchley Park er værd at se. Især er det fascinerende at se nogen sidde og taste forsigtigt på en Enigma-maskine.

Set isoleret er det en velkomponeret film, ikke mindst på billedsiden, og de kendte skuespillere gør det faktisk godt. Hvis The Imitation Game kan få flere til at interessere sig for Alan Turings liv og virke (og de tragiske omstændigheder om hans død, der i høj grad hang sammen med andres manglende accept af hans seksualitet) har filmen trods alt tjent et væsentligt formål.

På en måde er The Imitation Game en nutidig parallel til Amadeus fra 1984. Amadeus er en dengang Oscar-belønnet film om Mozart, som bestemt ikke skildrer Wolfgang Amadeus Mozarts korte liv og omfattende værk historisk korrekt og næppe heller giver et godt indblik i mandens personlighed. Til gengæld gjorde den en del mennesker interesseret i at lytte til Mozart.

Flattr this!

Mig og Monty Hall

montyhall

I 1991 læste jeg første gang om det såkaldte Monty Hall-problem, der er opkaldt efter en daværende studievært på et quizprogram i USA. Det kan beskrives således:

I et quizprogram skal deltageren vælge mellem tre døre. Bag en og kun én af disse døre er der en bil, og deltageren ved ikke hvilken dør det er. Hvis deltageren vælger døren bag hvilken bilen befinder sig, vinder deltageren bilen.

Men efter deltageren har valgt dør, åbner studieværten en anden dør – og bag den er der ikke en bil (vi antager her at studieværten ved hvilken dør, bilen er bag). Herefter har deltageren lov til at skifte mening og i stedet vælge en anden dør. Bør deltageren skifte mening?

De fleste vil intuitivt mene at man ikke bør skifte – der er ikke blevet afsløret noget bare fordi der er blevet åbnet en irrelevant dør.

Problemet blev omtalt af brevkasseredaktøren Marilyn Vos Savant fra det amerikanske blad Parade. (Jeg har tidligere skrevet om hende; hun er indehaver af den højeste IQ, der nogensinde er blevet målt.) Hun forklarede grundigt at det bedste faktisk vil være at skifte – at sandsynligheden for at vælge den rigtige dør før var 1/3, men efter åbningen af den “irrelevante dør” nu var 2/3.

Der var en hel masse aktivitet på Internettet i den anledning; det var før World Wide Web så alt dette skete i Usenet-nyhedsgrupperne. En hel masse mennesker dyngede Marilyn Vos Savant til med protester – mange af dem var universitetsmatematikere, og de var rigtig hånlige. Alle og enhver kunne da se at quizdeltageren ikke skulle skifte mening. Nogle af kommentarerne befandt sig i den rigtig grimme ende og hævdede at Marilyn Vos Savant var dum, fordi hun var kvinde.

I ugerne efter brugte Marilyn Vos Savant sin klumme på at forklare sin løsning, men der var stadig mænd, der nægtede at tro på hende og blev med at komme med sexistiske kommentarer. En artikel fra New York Times gav i 1991 et overblik over hele denne på godt og ondt interessante hændelse på Internettet.

Det interessante er selvfølgelig, at det var Vos Savant, der havde ret og at alle de vrede mænd tog fejl. Man kan se dette ved at liste alle de mulige tilfælde. Her er en tabel taget fra en ny, populærvidenskabelig gennemgang på Priceonomics.com.

opremsning

Tabellen viser at der er 9 mulige tilfælde, og i 6 af dem kan quizdeltageren vinde bilen ved at skifte mening.

Mange år senere har Marilyn Vos Savant skrevet om dette på sin hjemmeside. Og i artiklen fra Priceonomics.com kan man nu se hvordan nogle af de matematikere, der i sin tid fór op, nu undskylder pænt.

Monty Hall-problemet handler om det, man i sandsynlighedsteori kalder for betingede sandsynligheder. Der er en god lille gennemgang af dette på en hjemmeside fra Cornell University for et kursus i sandsynlighedsteori.

Jeg bliver mindet om en historie min gamle matematiklærer Jens Friis fortalte mig i gymnasiet, om dengang man indførte sandsynlighedsregning i matematikpensum i det almene gymnasium, En forsamling af gymnasielærere fik nogle opgaver, som eleverne fra nu af kunne blive stillet – og der var omtrent lige så mange forskellige forkerte løsninger, som der var lærere til stede! Denne historie og Monty Hall-historien fortæller at sandsynlighedsteori har det med at være det modsatte af intuitiv. Betingede sandsynligheder er særligt snedige. Af samme grund falder jeg ofte tilbage på et gammelt råd, Jens gav mig i gymnasietiden, nemlig at gøre som ovenfor: at opliste antallet af mulige tilfælde og se hvor mange af dem der er “gunstige”.

 

Flattr this!

Møder med Bertrand Russell

br71

En af de mest interessante tænkere fra det 20. århundrede er, synes jeg, den walisiske filosof og matematiker og forfatter og aktivist Bertrand Russell. Han levede fra 1872 til 1970, så han er et af mennesker, der nåede at påvirke mange, men også at møde og blive mødt af mange. Det er også interessant at læse om de mennesker, der har beskrevet deres møder med ham.

Giuseppe Peano mødte Bertrand Russell ved den internationale matematikkongres i Paris i 1900, hvor David Hilbert fremlagde sine problemer. Peano gav Russell et eksemplar af sin bog Formulario,
hvori den berømte aksiomatisering af de naturlige tal dukker op. Siden havde de to en brevveksling, der strakte sig fra 1901 til 1912. I alt 9 breve blev det til.

I 1920 rejste Bertrand Russell til Rusland, hvor han mødte Lenin, Trotskij og forfatteren Maxim Gorkij. Dette skrev Russell selv om i en rejseberetning fra dengang. Man kan af hans beretning se, at Russell troede at Gorkij var døende på det tidspunkt – men Gorkij levede helt frem til 1936!

Den irske forfatter George Bernard Shaw kolliderede med Bertrand Russell, engang de var ude at cykle sammen – men det tæller ikke som et møde, for de to mænd kendte hinanden inden da.

bernard-shaw-bertrand-russell

Paul McCartney mødte faktisk også Bertrand Russell mange år senere, og det var dét møde, der fik McCartney til at gå ind i modstanden mod Vietnam-krigen.

Og samme år (i 1964, et væsentligt år i mit liv), mødte den engelske skuespillerinde Sarah Miles Russell. Hun var 23 og hendes hund var sluppet løs, han var 92. Russell og Miles spiste agurkesandwich og Russell klemte hendes knæ – han havde nemlig altid, nå ja, været glad for damer.

sarah_miles_in_ryans_daughter

Flattr this!

F-klubben på U-Matic

U-matic

Hvis man ikke ved hvad F-klubben er, er det sikkert svært at forklare det – det er en festforening for studerende og ansatte ved matematik, datalogi og hermed beslægtede uddannelser på Aalborg Universitet. Efterhånden er det dog mest studerende, der engagerer sig i F-klubben og alt for mange af mine kolleger tænker på F-klubben som en forening for studerende. Nærmeste beslægtede fænomen derude er vel Tågekammeret på Aarhus Universitets naturvidenskabelige uddannelser.

Selv blev jeg medlem af F-klubben i 1983, da jeg begyndte på Mat 1 (dvs. 3. semester og det første semester af matematikstudiet efter den daværende basisuddannelse). Man kan ikke melde sig ud af F-klubben; medlemskab er livsvarigt.

Finn Verner Jensen, der nu er professor emeritus og i sin tid var med til at stifte F-klubben i 1977, har påtaget sig den interessante opgave at dokumentere Institut for datalogis historie. De første mange år er fælles med matematiks historie, og F-klubben spiller også en stor rolle i denne fortælling. Mange af mine (endnu) ældre kolleger er allerede blevet spurgt. Når jeg selv indtræder i fortællingen, kommer der også et bidrag fra mig.

Jeg havde en flyttekasse på mit kontor med alskens gamle ting; den var ikke blevet åbnet siden jeg flyttede til mit nuværende kontor i 2007. Den fik Finn adgang til – i den lå en del relikvier fra F-klubbens tidlige år, bl.a. en mappe som jeg havde fået i arv med materiale helt tilbage fra 1977. Og der lå en sjælden sydøstbulgarsk debatfilm, som jeg havde indspillet i 1987 sammen med min gamle studiekammerat Carsten Sørensen, der nu er at finde på London School of Economics. Filmen er indspillet på U-Matic-videobånd og vil blive behørigt digitaliseret en dag (der er et firma på Sjælland, der specialiserer sig i den slags). Jeg glæder mig til at se den, og en dag vil I også kunne få den særlige oplevelse.

I går aftes var jeg på kort visit til årets julefrokost i F-klubben. Det var en næsten lige så hyggelig og delvist kaotisk forestilling som jeg husker dem, ganske meget hyggeligere end de grundigt iscenesatte men underligt u-festlige julefrokoster på Institut for datalogi, der nu er blevet sparet væk. En pige til festen kom hen til mig og sagde at hun skulle hilse mig mange gange fra en af mine andre gamle studiekammerater, nemlig Jan Sieker, der havde været hendes matematiklærer i gymnasiet (og en lang overgang var F-klubbens kasserer, men det glemte jeg at nævne for hende).

Flattr this!

George Spencer-Brown

georgespencerbrown

Jeg stødte i dag på navnet George Spencer-Brown, da jeg læste om funktionel fuldstændighed i propositionslogik. En mængde af konnektiver er funktionelt fuldstændig, hvis enhver funktion over sandhedsværdier kan udtrykkes ved sandhedstabellen for et propositionslogisk udtryk, der kun anvender disse konnektiver. En af dem, der har beskæftiget sig med dette, er George Spencer-Brown, og han har skrevet bogen Laws of Form, som jeg engang har haft i fotokopi.

Når man læser hans CV, bliver man hurtigt forpustet. Her er et ufuldstændigt sammendrag:

  • Blev født i 1923 og vandt priser i talentkonkurrencer i fysik og kemi, mens han gik i skole
  • Blev bachelor i medicin som 20-årig
  • Så kom 2. verdenskrig hvor han var telegrafisk og radiomekaniker
  • Efter krigen studerede han i Cambridge (ved Trinity College) 1947-1952
  • Publikationer om statistisk analyse af data i parapsykologi
  • På Cambridges førstehold i tennis, fodbold og skak
  • Svæveflyver og luftakrobat
  • Amatørskuespiller
  • Samarbejde med Wittgenstein om matematikkens grundlag
  • Samarbejde med Bertrand Russell
  • Lavede en PhD-afhandling om sandsynlighedsteoriens filosofiske grundlag
  • Arbejdede på at bevise Goldbachs formodning
  • Chief Logic Designer, Mullard Equipment Ltd, 1959-61.
  • Konsulent ved British Rail
  • Gæsteprofessor i matematik i Maryland
  • Gæsteprofessor i datalogi i Stanford
  • Psykoterapeut på fuld tid i 1968-1969
  • Fodboldreporter ved Daily Mail
  • Hævdede i 1976 at have bevist firefarveformodningen i grafteori (det havde han så ikke, men ingen er ufejlbarlig)
  • Flere bogudgivelser (digte, filosofi, Laws of Form, en bog om Falklandsøerne)
  • …og meget mere

Hvad laver George Spencer-Brown i sin fritid? Måske ikke så meget, for han er trods alt 91 år gammel nu. Men ifølge ham selv er hans fritidsinteresser disse:

Recreations include shooting, tennis, cricket, soccer, chess, piloting anything that will fly, exploring, photography, maps and map-making, listening to Mozart, cooking in commercial breaks, composing and performing songs and ballads, constructing ingenious machines that actually work, and inventing astonishing games that can actually be played.

Om han havde en hund, ved jeg ikke.

Der er et websted, der handler specielt om Spencer-Brown, og her kan man læse et interview med ham fra sidste år, da han fyldte 90.

Måske er Spencer-Brown en af de store, glemte tænkere. Måske blev han efterhånden lidt af en crackpot (som man også kunne mistænke Alexander Grothendieck for at være blevet det). I et kort resumé af fjerdeudgaven af Laws of Form står der

A fourth preface was added in which he talks about “triunions” or “triple identities” such as of reality, appearance and awareness, or imaginability, possibility and actuality, or what a thing is, what it isn’t and the boundary between them. He claims/acknowledges that Sakyamuni (the Buddha) is “the only other author who evidently discovered these laws.” He invites the reader to join a siblinghood and help found a school of his methods for intuitively feeling and naturally acting upon the consequences of there being nothing. He calls the method and the siblinghood “tarati.” 4 pages. An extraduction was also added in which he claims to be, since before he could talk, a liberated being with unlimited thinking, superior to Bach, Mozart, Newton and Gauss, and asks for money and volunteers to help him found schools for superintelligent children such as he was. 5 pages.

Flattr this!

Alexander Grothendieck

692870-grothendieck

Alexander Grothendieck døde i denne uge. Libération har en nekrolog om ham (den er på fransk), der berører både hans matematiske virke og hans aktivisme. En artikel fra Notices of the AMS fra 2006 (den er på engelsk) giver en grundig beskrivelse af både hans matematiske bedrifter og hans senere eneboer-tilværelse.

Grothendieck er en af de skikkelser, hvis liv og virke virker utroligt. Han blev født i 1928 i Berlin – hans far var russer og jøde, hans mor var tysker og socialist. Da Hitler kom til magten, flygtede familien til Frankrig, men da den spanske borgerkrig brød ud, rejste forældrene til Spanien. Grothendieck så dem først igen i 1939, men de var kun sammen i kort tid. Grothendiecks far blev deporteret af tyskerne og døde i Auschwitz i 1942.

I gymnasiet gjorde han sig ikke særligt bemærket, og da han begyndte at studere på universitetet, dumpede han i et fag. Men da han fortalte sine lærere, at han havde fundet en metode til at finde volumen af vilkårlige legemer, spidsede de øren. Uden at være klar over det, havde teenageren Grothendieck nemlig genopdaget det, man kalder for Lebesgue-målet (Libérations nekrolog hævder fejlagtigt, at han havde genopfundet funktionalanalyse).

grothendieck65b

Grothendieck er en af de helt store skikkelser i det 20. århundredes matematik. Han grundlagde algebraisk geometri, det område af matematikken der undersøger egenskaber ved kurver og flader ved brug af algebra – og her fik han stor glæde af kategoriteori. Begrebet topos (der er en særlig slags kategori med de egenskaber, en mængdeteori bør have) skyldes Grothendieck. I 1966 fik han Fields-medaljen; højere kan man vel ikke nå i matematik. Men Grothendieck nægtede at deltage i prisoverrækkelsen i Moskva for at vise sin solidaritet med to fængslede russiske systemkritikere.

En af Grothendiecks vejledere var Jean Dieudonné, og via ham kom han ind i Bourbaki-forfatterkollektivet. Så på denne måde er Grothendieck indirekte også en af fadderne til nogle af de lærebogssystemer med fokus på mængdelære, der blev brugt i danske folkeskolers matematikundervisning i 1970’erne.

Alexander Grothendieck var antimilitarist og miljøaktivist; han var statsløs i en stor del af sit liv – først i 1980’erne blev han fransk statsborger. Igennem 1960’erne og frem engagerede han sig i kampen mod Sovjetunionens militære aggression og mod Vietnam-krigen. På et tidspunkt i 1967 foretog han på eget initiativ en rejse til Vietnam; her gav han forelæsninger om kategoriteori i Hanoi under de amerikanske bombardementer af byen.

En vigtig del af Grothendiecks karriere fandt sted ved Institut des Hautes Études Scientifiques, men i 1970 forlod han IHÉS i 1970, da han fandt ud af at instituttet var delvist finansieret af militæret. Fra da af havde han kun midlertidige ansættelser. Op gennem 1980’erne publicerede Grothendieck ikke noget, men han producerede lange manuskripter.

Grothendieck-460x305

I 1991 flyttede Grothendieck til et sted i Pyrenæerne, som kun få kendte, og her begyndte han en eneboertilværelse. Han skrev stadig, men ikke om matematik. Hans mange skrifter fra de sidste 23 år af  hans liv er ikke udgivet, og nogle af dem har han formodentlig selv tilintetgjort.

Grothendieck var en inspiration for fransk miljøaktivisme; i et interview fortæller den ikke helt ukendte franske aktivist José Bové om denne side af Grothendiecks liv.

Flattr this!

Backus og Chomsky

backus-syntax
Udsnit af den artikel, hvor Backus første gang foreslår en udgave af det, vi i dag kalder kontekstfrie grammatikker.

Når man skal beskrive syntaksen af programmeringssprog, bruger man normalt kontekstfrie grammatikker. Denne model skyldes John Backus, der var datalog og matematiker og ansat som forsker ved IBM, og Noam Chomsky, der var (og er) teoretisk lingvist ved MIT. Backus’ indsigt blev brugt til at beskrive syntaksen af ALGOL 60 – og skal jeg nævne en tredje person i denne forbindelse, må det være Peter Naur, der var redaktør på ALGOL 60-rapporten.

Det er interessant at Backus og Chomsky får deres ideer samtidig, nemlig i første halvdel af 1950’erne. I lærebøger om formel sprogteori har jeg aldrig set nævnt om Backus var inspireret af Chomsky – eller omvendt (omend jeg ikke kan lade være at bemærke, at Chomskys teori om syntaks er langt mere generel). De to mænd er endda født i samme by i USA, nemlig Philadelphia, med fire års mellemrum. Om de nogensinde nåede at møde hinanden, ved jeg ikke.

Af en artikel af Stephen Wolfram fremgår det at de to amerikanere får deres ideer uafhængigt af hinanden.

På den anden side står der dette i en nekrolog fra 2007:

Among his library at the time were the works of the modern philosopher and theorist Noam Chomsky, who studied the evolution of the human intellect and of written and spoken language in parallel. Chomsky was developing a symbolic syntax with which to frame his concepts of languages within languages, in the study of how sociology affects grammar. Backus borrowed some of Chomsky’s concepts, including the idea that a symbology could represent a computer language…even one that didn’t yet exist.

Men Backus sagde selv (ifølge et citat fra bogen Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists)

There’s a strange confusion here. I swore that the idea for studying syntax came from Emil Post because I had taken a course with Martin Davis at the Lamb Estate… So I thought if you want to describe something, just do what Post did. Martin Davis me he did not teach the course until long afterward… So I don’t know how to account for it. I didn’t know anything about Chomsky. I was a very ignorant person.

Martin Davis mener at Richard Goldberg, der arbejdede sammen med John Backus på Fortran-projektet og oprindelig var filosof fra Harvard, kan have omtalt Chomskys arbejde for Backus. Så hvor meget Backus kendte til Chomskys arbejde, får vi aldrig at vide nu.

Men her er det faktisk interessant, at de kontekstfrie grammatikker første gang blev foreslået i det 4. århundrede før vor tidsregning af den indiske matematiker Pāṇini (al lighed med italiensk bagværk er tilfældig). Pāṇini var interesseret i at forstå strukturen af sanskrit, som er det sprog, man dengang talte i hans del af Indien og som hinduismens hellige skrifter er forfattet på. Om Backus eller Chomsky kendte hans arbejde, ved jeg ikke.

Flattr this!

Bevisets stilling

Et godt bevis skal kunne overbevise andre.
Et godt bevis skal kunne overbevise andre.

Når jeg underviser, skal de studerende lave opgaver, hvor de skal udføre matematiske ræsonnementer. For de allerfleste er det første gang, de selv skal prøve at konstruere og skrive et matematisk bevis, og de allerfleste er meget usikre på hvordan man gør. Er det, vi har skrevet, godt nok? spørger de mig. Faktisk rører de ved noget helt centralt, nemlig hvad et matematisk bevis er og hvilken rolle det har.

Leslie Lamport skriver i sin artikel How To Write A 21st Century Proof om hvordan man kan lave bedre matematiske beviser. Han skelner mellem beviser i det 21. århundrede og beviser i stilen fra det 17. århundrede, hvor sidstnævnte beviser simpelthen er “prosa med  formler”.  Lamports påstand er dels at mange matematiske beviser stadig lever i det 17. århundrede, dels at der er mange ukorrekte beviser i den matematiske litteratur.

Formodentlig har han ret i begge påstande. Der er masser af beviser i artikler og bøger, som er sværere at forstå end de burde være. Typisk har beviserne en uklar struktur. Jeg har selv begået sådanne beviser, og min fornemmelse er at vi skriver rodede beviser fordi vi først og fremmest skriver beviserne til os selv.

Når vi bevæger os uden for den del af matematisk logik, der hedder bevisteori (et område, jeg selv har haft en del kontakt med, men ikke kan påstå at kende godt), er der ikke nogen klare kriterier for hvad et korrekt bevis egentlig er.

Et klart og samtidig uformelt krav er at et matematisk bevis skal overbevise læseren. Netop derfor må beviset ikke være “privat”; amatører udi matematikken har gennem årene forsøgt at løse åbne problemer, og deres “beviser” har altid overbevist dem selv – og oftest kun dem selv.

Derfor siger jeg ofte til de studerende, der spørger mig, at et godt bevis er et, der kan læses og accepteres af en anden. Denne anden  kan enten være en anden studerende eller den studerende selv, der genlæser beviset på et senere tidspunkt.

Men jeg prøver også at gøre det klart for studerende, at et bevis ikke er “magi”. Mange tror at et bevis er udtryk for en særlig og genial indsigt. Sådan er det selvfølgelig af og til, men  i mange områder af teoretisk datalogi, som studerende møder, kan beviserne udformes ud fra en meget præcis opskrift. Dette gælder f.eks. for beviser for uafgørbarhed ved reduktion. Og uanset hvad: De fleste (måske alle) matematiske beviser kan gives en klar struktur. Når man skal kontrollere gyldigheden af et bevis, består arbejdet typisk i at undersøge om dets struktur er fornuftig.

Så måske skal vi gøre særlig meget for at få dette næste-algoritmiske aspekt af matematiske beviser gjort klart for de studerende, vi underviser.

Lamport og mange andre – her specielt Per Martin-Löf og traditionen fra intuitionistisk typeteori – har hver især og sammen arbejdet på at finde en måde at konstruere og strukturere beviser, således at det også kan tjekkes automatisk om et bevis er gyldigt. Vi må kunne lade os inspirere af alle disse gode anstrengelser i vores undervisning, også selv om vi måske ikke bruger Lamports TLA+-system eller bevisassistenter som Coq eller Isabelle.

Flattr this!

Hamming it up?

Richard Hamming

For tiden bruger jeg tid på at forberede et foredrag om Turing-prisen, officielt kaldet The A.M. Turing Award. Turing-prisen uddeles af ACM og er derfor en datalogi-pris, der måske bedst svarer til Nobelpriserne eller til Fields-medaljen. Men igennem tiden har mange af modtagerne af Turing-prisen været matematikere – også dette års modtager Leslie Lamport er oprindelig matematiker. Det samme gælder selvfølgelig for Alan Turing selv. På denne måde er historien om Turing på én gang et kongerække-agtigt bud på datalogiens historie og et strejftog i en bestemt del af den anvendte matematiks nyere historie.

En af de mere farverige modtagere af Turing-prisen er Richard W. Hamming, der er grundlæggeren af teorien om fejlkorrigende koder og derved i høj grad også en vigtig bidragyder til det 20. århundredes matematik. På det seneste har jeg hæftet mig ved Hammings opfattelse af faget matematik. Han stod for en meget anvendelsesorienteret tilgang til matematik, men han var samtidig velbevandret i det sædvanlige aksiomatiske grundlag.

En berømt udtalelse fra Hamming er hans retoriske spørgsmål om forskellen på Lebesgue-integralet og Riemann-integralet egentlig har nogen fysisk betydning, specielt da om det ville betyde noget for om et fly ville kunne lette eller ej. For hvis dét var tilfældet, ville han ikke ud at flyve i sådan et fly!

Og på et tidspunkt besluttede han sig for at indstille sin forskerkarriere for at koncentrere sig om undervisning. I denne periode af sit liv skrev han en del bøger, og de var præget af hans forsøg på et opgør med den præsentation, mange af os er vokset op med – den stil, der hedder definition/sætning/bevis/eksempel. I min gymnasietid var det endnu denne stil, der dominerede matematikundervisningen – mange på min alder husker Kristensen og Rindungs bøger, der reelt havde definition/sætning/bevis/eksempel som fast disposition. Senere kom der nogle såkaldt “alternative fremstillinger”, der prøvede at få den matematiske proces ind, men på nogle måder bare var en kunstigt sødet udgave af Kristensen og Rindung.

Hamming skriver et sted:

  1. We live in an age of exponential growth in knowledge, and it is increasingly futile to teach only polished theorems and proofs. We must abandon the guided tour through the art gallery of mathematics, and instead teach how to create the mathematics we need. In my opinion, there is no long-term practical alternative.
  2. The way mathematics is currently taught it is exceedingly dull. In the calculus book we are currently using on my campus, I found no single problem whose answer I felt the student would care about! The problems in the text have the dignity of solving a crossword puzzle – hard to be sure, but the result is of no significance in life. Probability and statistics have easily understood problems whose results are surprising, important and interesting in themselves.

Som en del andre mennesker endte Hamming med at være “for meget” for nogle mennesker – lidt på samme måde som en kursusholder i matematikkens didaktik, jeg havde for mange år siden; også han havde nogle interessante ideer om matematikundervisning (og en Hamming-agtig, omend noget mere elementær tvivl på nytten ved trappefunktions-definitionen af integration), men endte med at være en lidt isoleret størrelse på grund af sin fremfærd.

En af hans kolleger fra Bell Labs sagde om Hamming:

He is very hard to work with,…because he does a lot of broadcasting and not a lot of listening.

Men her vil jeg hæfte mig ved det meget mere positive: Hamming er en tidlig fortaler for en opdagende tilgang til matematikundervisning, hvor hovedvægten er på hvordan metoderne i matematik anvendes til at konstruere begreber og bevise resultater. Sagt med nyere begreber er Hamming fortaler for at præsentere context of discovery snarere end context of justification. Jeg har nu fået fat i hans elementære lærebog Methods of Mathematics, og den er et spændende bekendtskab. Jeg får den muligvis kætterske tanke, at nogen burde oversætte dele af Hammings bog til dansk og forsøgsvis prøve dem af i gymnasieregi.

Flattr this!