Kategoriarkiv: Matematik

Alexander Grothendieck

692870-grothendieck

Alexander Grothendieck døde i denne uge. Libération har en nekrolog om ham (den er på fransk), der berører både hans matematiske virke og hans aktivisme. En artikel fra Notices of the AMS fra 2006 (den er på engelsk) giver en grundig beskrivelse af både hans matematiske bedrifter og hans senere eneboer-tilværelse.

Grothendieck er en af de skikkelser, hvis liv og virke virker utroligt. Han blev født i 1928 i Berlin – hans far var russer og jøde, hans mor var tysker og socialist. Da Hitler kom til magten, flygtede familien til Frankrig, men da den spanske borgerkrig brød ud, rejste forældrene til Spanien. Grothendieck så dem først igen i 1939, men de var kun sammen i kort tid. Grothendiecks far blev deporteret af tyskerne og døde i Auschwitz i 1942.

I gymnasiet gjorde han sig ikke særligt bemærket, og da han begyndte at studere på universitetet, dumpede han i et fag. Men da han fortalte sine lærere, at han havde fundet en metode til at finde volumen af vilkårlige legemer, spidsede de øren. Uden at være klar over det, havde teenageren Grothendieck nemlig genopdaget det, man kalder for Lebesgue-målet (Libérations nekrolog hævder fejlagtigt, at han havde genopfundet funktionalanalyse).

grothendieck65b

Grothendieck er en af de helt store skikkelser i det 20. århundredes matematik. Han grundlagde algebraisk geometri, det område af matematikken der undersøger egenskaber ved kurver og flader ved brug af algebra – og her fik han stor glæde af kategoriteori. Begrebet topos (der er en særlig slags kategori med de egenskaber, en mængdeteori bør have) skyldes Grothendieck. I 1966 fik han Fields-medaljen; højere kan man vel ikke nå i matematik. Men Grothendieck nægtede at deltage i prisoverrækkelsen i Moskva for at vise sin solidaritet med to fængslede russiske systemkritikere.

En af Grothendiecks vejledere var Jean Dieudonné, og via ham kom han ind i Bourbaki-forfatterkollektivet. Så på denne måde er Grothendieck indirekte også en af fadderne til nogle af de lærebogssystemer med fokus på mængdelære, der blev brugt i danske folkeskolers matematikundervisning i 1970’erne.

Alexander Grothendieck var antimilitarist og miljøaktivist; han var statsløs i en stor del af sit liv – først i 1980’erne blev han fransk statsborger. Igennem 1960’erne og frem engagerede han sig i kampen mod Sovjetunionens militære aggression og mod Vietnam-krigen. På et tidspunkt i 1967 foretog han på eget initiativ en rejse til Vietnam; her gav han forelæsninger om kategoriteori i Hanoi under de amerikanske bombardementer af byen.

En vigtig del af Grothendiecks karriere fandt sted ved Institut des Hautes Études Scientifiques, men i 1970 forlod han IHÉS i 1970, da han fandt ud af at instituttet var delvist finansieret af militæret. Fra da af havde han kun midlertidige ansættelser. Op gennem 1980’erne publicerede Grothendieck ikke noget, men han producerede lange manuskripter.

Grothendieck-460x305

I 1991 flyttede Grothendieck til et sted i Pyrenæerne, som kun få kendte, og her begyndte han en eneboertilværelse. Han skrev stadig, men ikke om matematik. Hans mange skrifter fra de sidste 23 år af  hans liv er ikke udgivet, og nogle af dem har han formodentlig selv tilintetgjort.

Grothendieck var en inspiration for fransk miljøaktivisme; i et interview fortæller den ikke helt ukendte franske aktivist José Bové om denne side af Grothendiecks liv.

flattr this!

Backus og Chomsky

backus-syntax
Udsnit af den artikel, hvor Backus første gang foreslår en udgave af det, vi i dag kalder kontekstfrie grammatikker.

Når man skal beskrive syntaksen af programmeringssprog, bruger man normalt kontekstfrie grammatikker. Denne model skyldes John Backus, der var datalog og matematiker og ansat som forsker ved IBM, og Noam Chomsky, der var (og er) teoretisk lingvist ved MIT. Backus’ indsigt blev brugt til at beskrive syntaksen af ALGOL 60 – og skal jeg nævne en tredje person i denne forbindelse, må det være Peter Naur, der var redaktør på ALGOL 60-rapporten.

Det er interessant at Backus og Chomsky får deres ideer samtidig, nemlig i første halvdel af 1950’erne. I lærebøger om formel sprogteori har jeg aldrig set nævnt om Backus var inspireret af Chomsky – eller omvendt (omend jeg ikke kan lade være at bemærke, at Chomskys teori om syntaks er langt mere generel). De to mænd er endda født i samme by i USA, nemlig Philadelphia, med fire års mellemrum. Om de nogensinde nåede at møde hinanden, ved jeg ikke.

Af en artikel af Stephen Wolfram fremgår det at de to amerikanere får deres ideer uafhængigt af hinanden.

På den anden side står der dette i en nekrolog fra 2007:

Among his library at the time were the works of the modern philosopher and theorist Noam Chomsky, who studied the evolution of the human intellect and of written and spoken language in parallel. Chomsky was developing a symbolic syntax with which to frame his concepts of languages within languages, in the study of how sociology affects grammar. Backus borrowed some of Chomsky’s concepts, including the idea that a symbology could represent a computer language…even one that didn’t yet exist.

Men Backus sagde selv (ifølge et citat fra bogen Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists)

There’s a strange confusion here. I swore that the idea for studying syntax came from Emil Post because I had taken a course with Martin Davis at the Lamb Estate… So I thought if you want to describe something, just do what Post did. Martin Davis me he did not teach the course until long afterward… So I don’t know how to account for it. I didn’t know anything about Chomsky. I was a very ignorant person.

Martin Davis mener at Richard Goldberg, der arbejdede sammen med John Backus på Fortran-projektet og oprindelig var filosof fra Harvard, kan have omtalt Chomskys arbejde for Backus. Så hvor meget Backus kendte til Chomskys arbejde, får vi aldrig at vide nu.

Men her er det faktisk interessant, at de kontekstfrie grammatikker første gang blev foreslået i det 4. århundrede før vor tidsregning af den indiske matematiker Pāṇini (al lighed med italiensk bagværk er tilfældig). Pāṇini var interesseret i at forstå strukturen af sanskrit, som er det sprog, man dengang talte i hans del af Indien og som hinduismens hellige skrifter er forfattet på. Om Backus eller Chomsky kendte hans arbejde, ved jeg ikke.

flattr this!

Bevisets stilling

Et godt bevis skal kunne overbevise andre.
Et godt bevis skal kunne overbevise andre.

Når jeg underviser, skal de studerende lave opgaver, hvor de skal udføre matematiske ræsonnementer. For de allerfleste er det første gang, de selv skal prøve at konstruere og skrive et matematisk bevis, og de allerfleste er meget usikre på hvordan man gør. Er det, vi har skrevet, godt nok? spørger de mig. Faktisk rører de ved noget helt centralt, nemlig hvad et matematisk bevis er og hvilken rolle det har.

Leslie Lamport skriver i sin artikel How To Write A 21st Century Proof om hvordan man kan lave bedre matematiske beviser. Han skelner mellem beviser i det 21. århundrede og beviser i stilen fra det 17. århundrede, hvor sidstnævnte beviser simpelthen er “prosa med  formler”.  Lamports påstand er dels at mange matematiske beviser stadig lever i det 17. århundrede, dels at der er mange ukorrekte beviser i den matematiske litteratur.

Formodentlig har han ret i begge påstande. Der er masser af beviser i artikler og bøger, som er sværere at forstå end de burde være. Typisk har beviserne en uklar struktur. Jeg har selv begået sådanne beviser, og min fornemmelse er at vi skriver rodede beviser fordi vi først og fremmest skriver beviserne til os selv.

Når vi bevæger os uden for den del af matematisk logik, der hedder bevisteori (et område, jeg selv har haft en del kontakt med, men ikke kan påstå at kende godt), er der ikke nogen klare kriterier for hvad et korrekt bevis egentlig er.

Et klart og samtidig uformelt krav er at et matematisk bevis skal overbevise læseren. Netop derfor må beviset ikke være “privat”; amatører udi matematikken har gennem årene forsøgt at løse åbne problemer, og deres “beviser” har altid overbevist dem selv – og oftest kun dem selv.

Derfor siger jeg ofte til de studerende, der spørger mig, at et godt bevis er et, der kan læses og accepteres af en anden. Denne anden  kan enten være en anden studerende eller den studerende selv, der genlæser beviset på et senere tidspunkt.

Men jeg prøver også at gøre det klart for studerende, at et bevis ikke er “magi”. Mange tror at et bevis er udtryk for en særlig og genial indsigt. Sådan er det selvfølgelig af og til, men  i mange områder af teoretisk datalogi, som studerende møder, kan beviserne udformes ud fra en meget præcis opskrift. Dette gælder f.eks. for beviser for uafgørbarhed ved reduktion. Og uanset hvad: De fleste (måske alle) matematiske beviser kan gives en klar struktur. Når man skal kontrollere gyldigheden af et bevis, består arbejdet typisk i at undersøge om dets struktur er fornuftig.

Så måske skal vi gøre særlig meget for at få dette næste-algoritmiske aspekt af matematiske beviser gjort klart for de studerende, vi underviser.

Lamport og mange andre – her specielt Per Martin-Löf og traditionen fra intuitionistisk typeteori – har hver især og sammen arbejdet på at finde en måde at konstruere og strukturere beviser, således at det også kan tjekkes automatisk om et bevis er gyldigt. Vi må kunne lade os inspirere af alle disse gode anstrengelser i vores undervisning, også selv om vi måske ikke bruger Lamports TLA+-system eller bevisassistenter som Coq eller Isabelle.

flattr this!

Hamming it up?

Richard Hamming

For tiden bruger jeg tid på at forberede et foredrag om Turing-prisen, officielt kaldet The A.M. Turing Award. Turing-prisen uddeles af ACM og er derfor en datalogi-pris, der måske bedst svarer til Nobelpriserne eller til Fields-medaljen. Men igennem tiden har mange af modtagerne af Turing-prisen været matematikere – også dette års modtager Leslie Lamport er oprindelig matematiker. Det samme gælder selvfølgelig for Alan Turing selv. På denne måde er historien om Turing på én gang et kongerække-agtigt bud på datalogiens historie og et strejftog i en bestemt del af den anvendte matematiks nyere historie.

En af de mere farverige modtagere af Turing-prisen er Richard W. Hamming, der er grundlæggeren af teorien om fejlkorrigende koder og derved i høj grad også en vigtig bidragyder til det 20. århundredes matematik. På det seneste har jeg hæftet mig ved Hammings opfattelse af faget matematik. Han stod for en meget anvendelsesorienteret tilgang til matematik, men han var samtidig velbevandret i det sædvanlige aksiomatiske grundlag.

En berømt udtalelse fra Hamming er hans retoriske spørgsmål om forskellen på Lebesgue-integralet og Riemann-integralet egentlig har nogen fysisk betydning, specielt da om det ville betyde noget for om et fly ville kunne lette eller ej. For hvis dét var tilfældet, ville han ikke ud at flyve i sådan et fly!

Og på et tidspunkt besluttede han sig for at indstille sin forskerkarriere for at koncentrere sig om undervisning. I denne periode af sit liv skrev han en del bøger, og de var præget af hans forsøg på et opgør med den præsentation, mange af os er vokset op med – den stil, der hedder definition/sætning/bevis/eksempel. I min gymnasietid var det endnu denne stil, der dominerede matematikundervisningen – mange på min alder husker Kristensen og Rindungs bøger, der reelt havde definition/sætning/bevis/eksempel som fast disposition. Senere kom der nogle såkaldt “alternative fremstillinger”, der prøvede at få den matematiske proces ind, men på nogle måder bare var en kunstigt sødet udgave af Kristensen og Rindung.

Hamming skriver et sted:

  1. We live in an age of exponential growth in knowledge, and it is increasingly futile to teach only polished theorems and proofs. We must abandon the guided tour through the art gallery of mathematics, and instead teach how to create the mathematics we need. In my opinion, there is no long-term practical alternative.
  2. The way mathematics is currently taught it is exceedingly dull. In the calculus book we are currently using on my campus, I found no single problem whose answer I felt the student would care about! The problems in the text have the dignity of solving a crossword puzzle – hard to be sure, but the result is of no significance in life. Probability and statistics have easily understood problems whose results are surprising, important and interesting in themselves.

Som en del andre mennesker endte Hamming med at være “for meget” for nogle mennesker – lidt på samme måde som en kursusholder i matematikkens didaktik, jeg havde for mange år siden; også han havde nogle interessante ideer om matematikundervisning (og en Hamming-agtig, omend noget mere elementær tvivl på nytten ved trappefunktions-definitionen af integration), men endte med at være en lidt isoleret størrelse på grund af sin fremfærd.

En af hans kolleger fra Bell Labs sagde om Hamming:

He is very hard to work with,…because he does a lot of broadcasting and not a lot of listening.

Men her vil jeg hæfte mig ved det meget mere positive: Hamming er en tidlig fortaler for en opdagende tilgang til matematikundervisning, hvor hovedvægten er på hvordan metoderne i matematik anvendes til at konstruere begreber og bevise resultater. Sagt med nyere begreber er Hamming fortaler for at præsentere context of discovery snarere end context of justification. Jeg har nu fået fat i hans elementære lærebog Methods of Mathematics, og den er et spændende bekendtskab. Jeg får den muligvis kætterske tanke, at nogen burde oversætte dele af Hammings bog til dansk og forsøgsvis prøve dem af i gymnasieregi.

flattr this!

Universitetets stenalder og guldalder

I dag var jeg blevet indbudt til at holde et lille oplæg ved et møde på Institut for matematiske fag. Lige nu oplever matematikuddannelserne på Aalborg Universitet en stor tilstrømning af studerende. Da jeg selv var studerende der, var årgangene små – da der to efter mig startede et hold på næsten 30 studerende, talte man meget om den store tilstrømning. En af dem var forresten Søren Højsgaard, som i dag er institutleder på matematik. Men i år er der optaget tæt på 90 studerende på uddannelserne i matematik, matematik-økonomi og matematik-teknik. Dét er rigtig mange.

På Institut for datalogi er det nogle år siden, vi selv oplevede at få store hold af studerende (og i år bliver der optaget 252 studerende i alt på de uddannelser, vi tager os af – det er mere end en fordobling siden 2009), og matematikerne ville gerne høre mit bud på hvad vi oplevede og om der mon var nogle erfaringer, de kunne lære af.

Ovenfor kan I se de slides, jeg havde med.

Det blev en rigtig god mulighed for mig til at tænke tilbage på alle de forandringer, vi har oplevet i de seneste 30 år. Mange af ændringerne skyldes alt det, masseuniversitetet har ført med sig, men noget andet skyldes også at vi er blevet mere og mere lukket om os selv – det hænger selvfølgelig også til dels sammen med at institutterne nu skal være pseudo-selvforvaltende. Men ikke kun. Der er også tale om en regulær mentalitetsændring hos alle involverede, og årsagerne til den er mange og komplicerede at afdække.

Vi fik en god diskussion af de udfordringer, også Institut for matematiske fag nu står over for, og interessant nok endte jeg endnu engang med at snakke om flipped classroom. Det var et emne, der fik tankerne og spørgsmålene frem. Endnu engang fik jeg røbet at det tager meget mere end 10 minutter at producere 10 minutters undervisningsvideo – men først i dag lykkedes det mig at forklare hvorfor det er sådan. Analogen er den velredigerede tekst: det tager meget mere end 10 minutter at skrive en god tekst, som kan læses med udbytte på 10 minutter.

flattr this!

Fra gymnasiet til universitetet

For to år siden begyndte dumpeprocenterne at vokse alarmerende i nogle af fagene på vores bacheloruddannelser i datalogi og software. Gad vide om der er tale om en sammenhæng mellem hvordan de studerende klarer sig i disse fag? Gad vide om der er tale om studerende, der har klaret sig dårligt i gymnasiet?

På institutmødet i dag præsenterede jeg de resultater, vi har fundet. Undersøgelsen har jeg foretaget sammen med Mikkel Meyer Andersen fra Institut for matematiske fag. Mikkel stod for det store arbejde med at lave selve dataanalyserne, og han har også datalogi som sit andet fag og kender derfor også noget til den uddannelse, undersøgelsen omhandler.

Karaktergennemsnittet er signifikant lavere hvis man har et matematikgennemsnit fra gymnasiet under 4. Karaktergennemsnittet hos dem, der udebliver fra en eller flere eksaminer i disse fag er signifikant lavere og risikoen for at dumpe i et eller flere af de fire fag er signifikant højere.

Resultaterne affødte en del kommentarer fra mine kolleger. Det skortede især ikke på hurtige løsningsforslag. Nogle foreslog at matematikkurserne på første studieår skulle laves om. Nogle foreslog at der skulle være særlige sommerkurser. Andre spekulerede på om sammenhængen mon var af generel natur eller kun gjaldt for de fire kurser, vi her havde fat i.

Diskussionen afslørede dog også noget andet: Vi, der underviser på universitet, ved simpelthen alt for lidt om matematikpensum på ungdomsuddannelserne.

Det eneste, vi kan se, er at der er en korrelation mellem matematikkaraktererne fra  ungdomsuddannelserne og nogle bestemte fag på universitetet. Men det er også vigtigt i sig selv.

Jeg tør ikke pege på nogen enkel løsning, for først skal vi forstå årsagerne meget bedre. Selv vil jeg foreslå to tiltag.

  • For det første at vi laver yderligere undersøgelser for at se om problemet også forekommer for andre fag end de fire fag, vi har undersøgt.
  • For det andet at vi laver nogle kvalitative interviews, der kan afdække de studerendes motivation for at studere på de datalogiske uddannelser.

 

flattr this!

Det grimme metersystem

Bowling_Green_Distance_Sign_cropped

Noget af det, jeg altid har haft meget svært ved at forstå, er at USA som et af de eneste lande i verden (de to andre er Liberia og Myanmar) ikke har indført de internationale måleenheder – af mange kendt som metersystemet eller S.I.-enhederne, som det officielt hedder. Argumenterne er helt overvældende, og jeg gider ikke engang gentage dem her. Men når jeg af og til har talt med amerikanere om det (her taler jeg ikke om  akademikere fra USA), bliver det klart at de ikke kan forstå hvorfor. Metersystemet er underligt og uforståeligt, mens brugen af miles og pounds og ounces er lige så universel og nødvendig fornuft som valg i enkeltmandskredse, dødsstraf, private sundhedsforsikringer og amerikansk fodbold.

Alle andre lande hvor engelsk er hovedsprog har opgivet de britiske måleenheder – også Storbritannien. Og faktisk så det engang i 1970’erne ud til at også USA var på nippet til at opgive de britiske måleenheder.  Den republikanske præsident Gerald Ford indførte en forordning, folkeskolelærerne gjorde sig klar til at undervise med internationale måleenheder og der dukkede vejskilte op med afstande angivet i kilometer. Billedet ovenfor viser et af dem.

En bog af den amerikanske forfatter John Marciano fortæller historien om hvorfor det ikke skete. For mig er det overraskende og triste er at der var tale om en helt systematisk kampagne imod S.I.-enhederne. Den påstand, som blev fremført, var at S.I.-enhederne var udtryk for en elitær tankegang, der ikke tog hensyn til den brede befolknings interesser. Formanden for National Cowboy Hall of Fame erklærede sågar at metersystemet var et udtryk for kommunisme!

I dag lever modstanden mod S.I.-enhederne videre og bliver stadig brugt af den amerikanske højrefløj som del af deres reaktionære nationalisme af bl.a. forfattere som Tom Wolfe og åndelige fyrtårne som Sarah Palin og Ann Coulter (en amerikansk mediepersonlighed på Fox News, der nogle gange får Marie Krarup til at fremstå som en blød venstreorienteret). Sidstnævnte harcelerede tidligere i år over VM i fodbold og metersystemet – begge dele var uamerikanske og foragtelige. Det oplagt ironiske er selvfølgelig, at hverken det engelske sprog eller de britiske måleenheder er oprindeligt amerikanske.

Noget andet, der er lige så ironisk, er at de britiske måleenheder gør brug af en talforståelse, der går tilbage til tiden før 10-tals-systemet og før brugen af multiplikations- og divisionsalgoritmer. Det var en tid, hvor det var nemt at fordoble, halvere og tredele i hverdagen – og den slags fører uvilkårligt til en slags 12-tals-system. Den gamle britiske møntfod (indtil 1971), hvor 1 pund sterling var 12 shilling, repræsenterede samme tankegang.

flattr this!

Hemmelig deling

Secretsharing-3-point

I dag var jeg til workshop om secret sharing på Institut for matematiske fag. Dette er et emne med forbindelse til kodningsteori og kryptologi, og der var både matematikere og dataloger til stede fra flere danske universiteter (og en enkelt industriel personlighed). Det er ikke nogen ny idé, vi har med at gøre – den skyldes israeleren Adi Shamir og amerikaneren George Blakley, der fandt hver deres løsning på samme udfordring hver for sig i 1979. Secret sharing er den udfordring at lade et antal deltagere have hver deres del af et hemmeligt stykke data, men på en sådan måde at der skal et vist, bestemt antal deltageres viden til for at det hemmelige stykke data kan rekonstrueres.

Blakleys løsning er måske den nemmeste at forstå; hvis hemmeligheden skal deles med n deltagere, skal vi opfatte den som et punkt i et n-dimensionalt rum og fortælle hver af de n deltagere en plan i rummet. Planerne skal man vælge sådan, at de skærer hinanden i ét punkt – nemlig det punkt, man vil holde hemmeligt. Kun når man har kendskab til alle n planer, ved man hvad det hemmelige punkt er.

Shamirs løsning går (meget løst sagt) ud på dette: Hvis vi vil holde et tal hemmeligt og dele det med n deltagere, og tærskelværdien skal være t, dvs. at der skal t af de n deltagere til for at finde frem til den hemmelige talværdi, skal man at konstruere et polynomium af grad t-1 og oplyse n punkter fra polynomiets graf. Vi ved nemlig at vi kan bestemme et polynomium af grad t-1 entydigt, hvis vi kender t punkter på dets graf. Den ledende koefficient i polynomielt (dvs. den, der har højest orden) skal være den hemmelige værdi; resten vælger vi tilfældigt. Her kommer forbindelsen til kodningsteori ind, for det vi har lavet her, er det man også kalder for en Reed-Solomon-kodning.

I al fald er emnet stadig vigtigt i både matematik og datalogi, og Olav Geil og Diego Ruano fra AAU har allerede en del interessante resultater om emnet – og de har for nylig fået forskningsrådspenge til at arbejde videre med det.

Til dagens workshop var der både italienere og spaniere til stede, og stemningen var så positiv, at de endog helt frivilligt begyndte at snakke om VM i frokostpausen!

flattr this!

Kragearitmetik

krage

Oppe bag ved vores hjem i Nørresundby ligger Skanseparken, hvor der er ganske mange krager, der bygger deres rede højt oppe i de gamle bøgetræer. Af og til kan jeg høre de gråsorte fugle skræppe op; derudover har jeg ikke tænkt så meget over hvad der er særligt ved kragerne.

Men artikel fra 2000 af tre ornitologer fra Moskvas Statsuniversitet tyder på at krager har et talbegreb. Forskerne serverede foder i to skåle for fuglene, der så kun måtte indtage foder fra den skål, de første valgte. Kragerne valgte typisk den skål, hvor der var flest stykker foder.

Det gjorde duer også, men de var ikke så gode til at tælle som kragerne – duer kunne kun vælge den mest fyldte skål, hvis der var mere end 3 stykker foder til forskel på antallet af de to skåle. Krager kan endda forstå en ordningsrelation; de kan skelne mellem en skål med få, større stykker føde og en anden skål med flere, men synligt mindre stykker foder.

Sådan et resultat er interessant, for det viser at talbegrebet også har en eksistens uden for den menneskelige forstand – hvis krager kan tælle, kan andre intelligensvæsener langt fra vores planet det sikkert også. Også en artikel fra Videnskab.dk fortæller om hvad krager forstår. Og alt dette får mig også til at tænke en noget mere jordnær tanke: at ganske vist er naturen vel ikke “besjælet”, men den er på den anden side heller ikke “dum”.

 

flattr this!

Er der en doktor til stede?

flag
Det “schweiziske flag” i 2 og flere dimensioner (fra Martin Raussens doktorafhandling).

I dag forsvarede Martin Raussen sin doktorafhandling i matematik her på Aalborg Universitet. Jeg har kendt Martin i mange år og har lidt på afstand prøvet at følge med i hvordan han sammen med bl.a. Lisbeth Fajstrup, der også er fra Institut for matematiske flag – undskyld, Institut for matematiske fag –og udenbys kolleger været motiveret af bestemte problemer inden for parallel programmering med gensidig udelukkelse til at udvikle et nyt område af algebraisk topologi, hvor man betragter homotopier mellem (klasser af) orienterede stier i planer. Stier svarer til “spor” i en programudførelse, og dimensionerne af det rum man betragter, svarer til antallet af parallelle komponenter. Orienteringen kommer ind i billedet på grund af den temporale ordning af programskridt.

Hvis man tror, at det kun er “diskret matematik” (som vel ofte mest forstås som al den matematik, der ikke er “kontinuert matematik”) som har forbindelser til datalogi, tager man fejl. Martin hævder selv at hans resultater ikke er særligt dybe, men her er det vist hans beskedenhed, der sætter ind.

Jeg fik dog ikke hele forsvaret med, for jeg var kommet af sted til NOVI uden mit adgangskort – døren lukker kl. 16, og jeg ville nødig smækkes ude. Dog har jeg en særdeles velbegrundet formodning om at Martin får sin doktorgrad og tør derfor godt ønske ham tillykke!

flattr this!