En forsinket hyldest til Kristensen og Rindung

En side fra bind 1 af Erik Kristensen og Ole Rindung: “Matematik 1”, 10. udgave, G.E.C. Gads Forlag.

I dag var jeg og min hustru på besøg hos min gamle matematiklærer Jens Friis og hans hustru; det er altid godt at se dem igen. Som så ofte ellers, når jeg er sammen med Jens, ender vi på et tidspunkt med at tale om matematikundervisning, et emne der har optaget os begge gennem mange år. I dag kom vi til at tale om de lærebøger i matematik, som blev brugt af så godt som alle i det almene gymnasium dengang jeg selv gik der fra 1979 til 1982. Bøgerne hedder noget så prosaisk som Matematik 1, Matematik 2.1 og så fremdeles, men de fleste kalder (og kaldte) dem bare for “Kristensen og Rindung” efter forfatterne Erik Kristensen og Ole Rindung. Alle fra min generation, der holdt af matematik i det danske gymnasium og senere studerede matematik, har vel et særligt forhold til netop Kristensen og Rindung.

Ét er indholdet. Når jeg i dag tænker tilbage på pensum fra dengang, går det op for mig, hvor meget matematikpensum har forandret sig. Mængdelæren er helt forsvundet, induktionsbeviser og ækvivalensrelationer ligeså, for sket ikke at tale om epsilon-delta-definitioner og over- og undersummer. Hele den aksiomatiske tilgang er for længst lagt på hylden. I vore dage ville man kunne genbruge Kristensen og Rindung som repetition af indledende universitetsmatematik – og jeg ved da også, at bøgerne nogle gange har fået netop dén rolle.

Et andet er fremstillingsformen. Man kan sige meget om Kristensen og Rindungs bøger, for de talte ikke til teenagerne, heller ikke dengang i 1979, men i dag holder jeg meget af at gense deres præcise og ordknappe skrivestil og af at se den pæne matematiske typografi, der vel repræsenterer state of the art af matematisk typografi, et årti inden TeX og LaTeX nåede frem til os. Og jeg kan ikke lade være med at tænke, at nogen burde genudgive Kristensen og Rindung eller i det mindste lade deres samlede værk blive almindeligt tilgængeligt på WWW. Det fortjener de.

Og er jeg den eneste, der kan huske en legendarisk opgave fra bind 2.1 (en opgave, som jeg aldrig nåede at regne) om en cirkulær ø med en biograf, der lå i øens centrum?

Flattr this!

Noget om at formulere opgaver

NZ Qualifications Authority Lvl 1 Math/Stats Exam 2017 by The Guardian on Scribd

På det seneste har jeg tænkt en del over den vigtige rolle, som opgaver spiller i matematik og beslægtede fag.

I går fik jeg besøg på universitetet af en gymnasieelev, der laver en større skriftlig opgave i matematik og har valgt at fokusere på kompleksitetsteori. Hendes matematiklærer er en af mine gamle specialestuderende, og det viste sig endda også at hendes far var en, jeg også engang har undervist – og han var sidenhen adjunkt i datalogi på AAU i en årrække. Verden er lille! Hun spurgte mig, om jeg mon ikke kendte nogle gode opgaver om kompleksitetsteori, for hun syntes, hun lærte rigtig meget ved at løse opgaver. Jeg gravede lidt og fandt frem til Problems on Algorithms, der er en opgavebog af Ian Parberry og William Gasarch. Selve bogen står ikke længere på min hylde; nogen har vel lånt den og aldrig leveret den tilbage. Men den ligger nu frit tilgængeligt på WWW. Problems on Algorithms er en af de alt for få opgavebøger på universitetsniveau, jeg kender.

Og det var også i denne uge, der har været røre om en skriftlig eksamen i matematik fra high school i New Zealand; der er tale om det, der svarer til studentereksamen. En del lærere har givet udtryk for at de selv havde bøvl med at regne opgaverne, og en del elever, der ellers har fået gode karakterer i matematik, har givet udtryk for det samme. Og måske var netop denne eksamen for svær for eksaminanderne fra New Zealand, men jeg er ikke den rette til at vurdere det. Jeg synes ikke selv, den virker så slem, men jeg er også uden for målgruppen.

Det ovenstående rører ved noget af det, der er svært, men samtidig er noget, vi kun sjældent taler om som undervisere i matematisk orienterede fag: Det er en vigtig, men svær kompetence at finde på velegnede opgaver.  Ét er at opgaverne skal indfange de rigtige læringsmål. Et andet er opgavernes omfang og sværhedsgrad. Og et tredje er at bevare og indsamle de gode opgaver til efterslægten – og at lade de dårlige opgaver gå i glemmebogen i stedet for i opgavebogen.

Hvad er en god opgave så? Hvis man får sagt dette på den forkerte måde, kommer det til at lyde arrogant: Men det er min erfaring, at den samling opgaver, man stiller, skal være opgaver, man selv ville kunne løse på i alt ti minutter. Da vil det tage en gennemsnitlig studerende to timer at løse opgavesættet. Og nej, dette skyldes ikke, at underviseren er meget klog og at dem, der bliver undervist, er dumme, men derimod at man som underviser har en erfaring med og et overblik over stoffet, som de studerende, der først nu skal til at lære stoffet, af gode grunde ikke har. Formodentlig er det her, opgavesættet fra New Zealand har fejlet. Opgaverne har virket udfordrende på den, der stillede den, men det var netop dét, de ikke skulle være.

Flattr this!

Smukke programmer?

Mit program til primalitetstest

I dag underviste jeg i kurset “Programmeringsparadigmer” på kandidatuddannelserne i datalogi og software. (Der var kun lidt under halvdelen af holdet på 90 studerende til stede; det ser ud til at være et vilkår nu, at mange bliver væk, men det er en anden snak.)

Denne eftermiddag tog vi fat i programmering i Haskell, der er et af mine yndlingsprogrammeringssprog, bl.a. fordi det er baseret så pænt på den typede lambda-kalkyle, som jeg holder meget af, og på sædvanlig matematisk notation. Jeg har til gengæld aldrig været så glad for de C-agtige programmeringssprog, som de studerende lærer at programmere fra første studieår og frem (og ja, jeg ved at det er en idiosynkrasi at have det sådan).

En af opgaverne gik ud på at lave en lille Haskell-funktion, der kan finde ud af om et naturligt tal er et primtal. Man kan skrive programmet på to linjer, og mange af de løsninger, vi så, lykkedes med det. På et tidspunkt sagde jeg (det var vist lige lovligt hoverende): Nå, det kan man nok ikke skrive på to linjer i et C-agtigt programmeringssprog! Jeg måtte trække i land – for det kan man jo godt. Linjerne skal bare være meget, meget lange.

Der var i det hele taget mange pæne løsninger fra de studerende i dag. Nogle steder undervejs så jeg nu også nogle underlige “knaster” i ellers pæne programmer, og dem bemærker jeg derfor endnu mere. Et typisk eksempel på en “knast” opstår, når man vil finde ud af om værdierne af variablerne p og q er ens. Mange skriver

if p = q then True else False

Dette udtryk er underligt at se, for det er sandt hvis og kun hvis p er lig med q. Det er nok at skrive p = q, men mange opdager det ikke – formodentlig fordi de først har lært programmeringssprog, hvor logiske udsagn ikke er “førsteklasses”.

Og alt dette får mig til at tænke på, at der jo er en form for æstetik i programmeringssammenhænge, præcis som der er i matematik, og at det er en æstetik, som vi nok ikke underviser i, men gerne vil fremme. Vi vil gerne kunne forklare, hvorfor det lille eksempel ovenfor er en “knast”.

Der er blevet tænkt over det af og til, men der er ikke rigtig nogen “datalogiens æstetik”, ligesom der heller ikke er en “matematisk æstetik”: Vi har ofte en vag fornemmelse af at “dette er pænt”.

Robin Hill, der er filosof og ansat ved University of Wyoming, men faktisk også har en baggrund i matematisk logik og i datalogi (hun har en Ph.D i datalogi) skrev sidste år en interessant lille klumme om hvornår programmer er elegante.

Hun fremhæver fire kriterier: (1) minimalitet, (2) at udrette det, det skal  (hun bruger ordet “accomplishment” her, men der er ikke nogen god oversættelse her) (3) beskedenhed (ikke at gøre uskøn brug af særligt snedige tricks), og (4) ny indsigt (hun bruger ordet “revelation” på engelsk, men “åbenbaring” lyder så underligt religiøst). Det er f.eks. ikke nok, at et program er kort – korte programmer kan være meget grimme og indforståede.

Det er et rigtig interessant bud, for præcis de samme kriterier kan man nemlig give for beviser i matematik. En skæg bog (synes jeg!) er bogen Proofs from THE BOOK, der er en samling af ekstra elegante beviser for grundlæggende resultater i matematik, og den gør brug af nogle meget tilsvarende kriterier.  Bogens titel henviser til den ikke helt ukendte ungarske matematiker Paul Erdös, der hævdede at Gud havde en bog i himlen, der rummede alle de mest elegante beviser for matematiske sætninger!

Og som en lille krølle vil jeg bemærke, at det måske ikke er så sært, hvis kriterierne er de samme. For et program i Haskell er jo faktisk også et bevis i typeteoretisk forstand: En type i Haskell er nemlig en logisk formel i intuitionistisk prædikatlogik, og et udtryk med denne type er i helt præcis forstand et bevis for denne formel.

Flattr this!

Maksimal- og minimalkurser

Tæller gange tæller og nævner gange nævner – forklaret på to forskellige måder.

Da jeg i dag læste om ændringerne i matematikundervisningen i grundskoler i USA, gik det op for mig at der er tale om en ændring, der ligner én, jeg kender fra min egen universitetsundervisning. Hidtil har man i USA undervist i mange teknikker og emner, men man er aldrig trængt ned hvorfor regneteknikkerne er gyldige. Illustrationen ovenfor viser de to forskellige tilgange til at løse ligninger med brøker, hvor den ubekendte står i nævneren. I den første lærer man simpelthen “gange over kors”-reglen, som danske skoleelever også er blevet udsat for. I den anden skal man opdage at dette faktisk handler om proportioner, så derefter vil man bedre kunne forstå hvad man skal gøre.

Den gamle tilgang til matematikundervisning i USA er “flad” og ikke “dyb”. Den amerikanske matematik-didaktiker Heidi Schweingruber siger at

The US has a mile-wide, inch-deep curriculum with tons and tons of things and ideas for kids to learn, but not an opportunity to go in depth…

Dette minder om to forskellige tilgange til at organisere universitetskurser på. Nogle universitetskurser har et pensum med mange emner, som de studerende skal stifte bekendtskab med. Her er det så op til den studerende at skabe dybden ud fra den store overflade. Selv er jeg blevet en stadigt større tilhænger af det modsatte, nemlig at finde ud af hvad det mindste, fornuftige pensum kan være og så prøve at skabe fordybelsen dér. Det er forskellen mellem hvad jeg vil kalde maksimalkurser og minimalkurser.

Min egen fornemmelse er at minimalkurserne kan give den studerende et bedre udbytte, for hvis man først mestrer et (forholdsvis) lille antal emner, er man samtidig blevet bedre til at lære at lære, og derefter kan man så brede sig ud til et større del af faget. Men minimalkurser er også sværere at undervise, for de kræver langt mere fokus på fordybelsen.

Flattr this!

Ved F-klubbens 40-års jubilæum

Gensyn med F-klubbens gamle for- og bagmand Per Madsen.

I dag fejrede F-klubben sit 40-års jubilæum, og der var ganske mange til stede i kantinen på Selma Lagerlöfs Vej 300. Også nogle gamle kandidater havde fundet vejen forbi. Det var hyggeligt at gense dem; og heldigvis var F-klubbens formand gennem en årrække, Per Madsen, også blandt dem, der kunne være til stede og holde en tale med indtryk fra en lang og broget og uformel historie. De første indslag var med Finn Verner Jensen, der var med til at oprette F-klubben, og institutleder Kristian Grønborg Olesen, også et trofast og mangeårigt medlem. Selv har jeg kun være medlem i knap 34 år, men jeg blev alligevel bedt om at holde tale.

Desværre må jeg ikke tale for tiden, så min tale kunne jeg ikke holde selv. Tak til Jane Billestrup, der sørgede for at holde den på mine vegne!

Herunder er den i sin helhed.


Tale ved F-klubbens 40-års jubilæum

I sidste uge pådrog jeg mig en mere end almindeligt stædig influenza, som til sidst besluttede sig for at besøge mine stemmebånd. Lige nu kan jeg slet ikke tale –- eller rettere: Det kan jeg måske, men min læge siger at jeg skal la være med at prøve. Det er derfor, det ikke er mig, der holder denne tale.

Jeg blev medlem af F-klubben tilbage i september 1983, da jeg var en vred ung matematikstuderende og Afdeling for matematik og datalogi, som det hed dengang, holdt til inde i midtbyen på Strandvejen 19

Der er et gammelt halvfjerdserhit som har en linje, der lyder “you can check in any time you want, but you can never leave”, og sådan er det også med F-klubben. Én gang medlem, altid medlem. Der er ikke noget i vedtægterne, der beskriver hvordan man melder sig ud. Det kan man nemlig ikke.

Og ja, der var en masse halvfjerdseratmosfære over F-klubben dengang, men det er lige præcis derfor, den betød så meget for mig.

F-klubben havde et større arsenal af fjollede traditioner. Mange af dem opdagede jeg i løbet af mine første uger som medlem.

F-klubbens generalforsamling var sådan en tradition — en mellemting mellem et beruset møde og en fest, men bagefter var der altid en rigtig fest.

Til generalforsamlingen var en af de særeste traditioner nok den med næsen. Jeg har ingen anelse om hvem der egentlig fandt på i ideen, men allerede i 1983 var den særdeles veletableret. Jeg hørte første gang om næser netop under generalforsamlingen, da dagsordenen nåede til punkt etellerandet. En næse var en officiel påtale i form af en plasticnæse med krav om at man skulle bære samme resten af aftenen.

Dén aften kom der flere potentielle næsemodtagere i forslag, og derpå fulgte en længere, måske ikke helt ædru drøftelse — og derefter skete der ingen verdens ting. Men derefter oprandt stunden, hvor man skulle tale om rehabilitering af næser.

Det stod imidlertid hurtigt klart for mig at vedtægterne heller ikke sagde noget om den slags. Én gang næse-indehaver, altid næse-indehaver.

Det forhindrede imidlertid ikke En Vis Person i at give en lang og snørklet (nogle ville sige lidenskabelig) forsvarstale om uretfærdigheden i at have fået en næse året forinden — eller var det mon flere år tidligere? Ingen var helt sikre på det, virkede det til, og egentlig var det vel også ligegyldigt. Vi fik hele klagesangen under alle omstændigheder. Efter hvad jeg kunne forstå, havde En Vis Person og visse af hans medstuderende bestemt sig for at tage en enkelt øl en fredag eftermiddag. Men én øl førte til flere, og til sidst var køleskabet tomt, og lageret ligeså. En mindre krise fulgte, og det var denne krise, der havde gjort at En Vis Person havde fået næsen sidste år (eller et eller andet andet år)

Netop denne Visse Person bar forresten navnet Kristian. Rygtet vil vide, at han i dag er institutleder et sted på dette universitet. Så vidt vides er han holdt op med at få sin næse (den af plastik) omstødt.

En anden tradition var Miss F-sektor (af en eller anden grund var det ikke “Miss F-klubben”), en skønhedskonkurrence som blev afholdt under festen efter generalforsamlingen. Den forsvarende Miss F. var Preben Dahl Vestergaard, som dengang underviste os i “Funktioner af flere variabler” (han er i dag gået på pension) — men den aften skiftede kronen (eller plastichjelmen, som det retteligt var) ejer. Den nye Miss F-sektor var en muligvis lidt forbeholden datalogistuderende på 8. semester ved navn Jan. Rygtet vil vide at også han er kommet videre i livet og i dag har en akademisk stilling på dette institut og aldrig har forsøgt at udnytte sin fortid som skønhedsdronning.

Noget af det, der var rigtig godt ved F-klubben var, at alle var med – studerende og ansatte. Det var ved F-klubbens festlige lejligheder, at man fik mulighed for at se de lidt mere uformelle sider hos dem, man blev undervist af. I så henseende opdagede jeg snart, at F-klubbens julefrokost var en klassiker. Desværre er der ikke mange, der husker meget fra disse seancer — om end jeg har en svag erindring om visse mennesker, der engang sad fast i en godselevator. Og nej, jeg var ikke blandt dem.

Årene gik, jeg endte i et anfald af ufornuft med at blive kandidat og endte til sidst på den anden side af katederet. På et tidspunkt endte F-klubben desværre også på den anden side af katederet; den havde nu fået ru for at være sådan et sted, hvor kun studerende var med. Væk var den tidd, hvor man kunne se ellers respektable akademikere slå sig løs. I stedet fik vi de den officielle institutjulefrokost ved Institut for datalogi, og den er præcis lige så festlig som navnet antydet (eller måske i virkeligheden lidt mindre festlig end dét).

Tiderne skifter, som en anden gammel sang siger det (eller også er det navnet på et forlag). Sidste efterår tilbragte jeg på Institut for matematiske fag, og her opdagede jeg at nogle af de gamle ideer og noget af ånden fra F-klubben ser ud til at have levet videre. Det fik mig til at indse hvor meget jeg havde savnet både matematik og F-klubbens gamle ånd, og jeg indså at matematik i lige så høj grad bærer F-klubbens ånd videre som datalogi gør (eller gerne vil mene at gøre).

I sidste måned flyttede jeg så kontor igen, og nu tilbage til Institut for datalogi. Jeg har nu kontor lige oven på et sted i bygningen, hvor F-klubben færdes. Jeg burde nok gå lidt oftere nedenunder.

Så ja, selv om jeg ikke kan forlade F-klubben, er jeg desværre ikke det medlem, jeg var engang. Jeg savner det, og jeg savner de fjollede traditioner som kan hjælpe os med at få hele effektivitetscirkusset på afstand engang imellem. Jeg savner især de festlige lejligheder, der kan bringe studerende og ansatte samme og lade os slå os løs. Det bør vi gøre noget ved.

Nogle gange er det som om det faktisk ikke er tilladt at slå sig løs. Studerende skal bestå så mange eksaminer som muligt så hurtigt som muligt, og universitetslærere burde se at få sig nogle flere eksterne forskningsmidler, så de kunne publicere noget mere og få sig frikøbt for undervisning (den slags er alligevel en opgave for udenlandske PhD-studerende). Visse danske politikere har fundet på alle disse såkaldte reformer, der gør al denne mangel på morskab mulig. Tilbage i 1983, da jeg blev medlem af F-klubben, var selvsamme politikere stadig travlt beskæftiget i børnehaver rundt om i landet.

Hvis der var nogen, der skulle have en næse i vore dage, var det dem.

Flattr this!

Afsked

I dag flyttede jeg kontor endnu engang. Mit semester uden undervisning er ved at være slut, og i dag pakkede jeg mine ting på Institut for matematiske fag. Denne gang tog det ikke så lang tid; alt mit rod lagde jeg bag mig tilbage i august da jeg flyttede fra Institut for datalogi.

I morgen tager jeg til Tyskland for at deltage i et ugelangt seminar på Schloß Dagstuhl, der ligger i Saarlandet. Fra februar af er jeg igen at finde på Institut for datalogi, men i et andet kontor i en anden del af bygningen end før.

Jeg har, som nogle vil vide, været en del væk fra mit kontor i efterårets løb for at tage til udlandet i forskellige sammenhænge, men jeg har været glad for at have Institut for matematiske fag som base i den tid, og jeg er blevet taget godt imod af alle på instituttet. En så enkel ting som at genopdage, at man kan spise frokost med kolleger, har været en god oplevelse. Og der er også gode ansatser til samarbejde i støbeskeen, så jeg dukker efter alt at dømme op på fransk visit på Fredrik Bajers Vej 7G engang imellem i fremtiden.

Flattr this!

Noget om eksponentielle udviklinger 

Eksponentielle udviklinger. Statens budget følger den blå kurve med a = 0,98. Kilde: http://www.webmatematik.dk

Da VC-regeringen kom til magten i 2001, indførte den at der hvert år skal skæres 2 procent på de offentlige budgetter. Fra 2011 til 2015, mens Helle Thorning Schmidt var statsminister, var denne nedskæring ikke i kraft på uddannelsesområdet. Men da Lars Løkke Rasmussen blev statsminister, begyndte nedskæringerne på 2 procent årligt igen. Dette nedskæringsprincip har siden 2001 fået konsekvenser rundt om i den offentlige sektor, bl.a. i form af fyringer og nedlæggelser.

Hvis man skærer i budgetterne med 2 procent om året, kan statens budget, når der er gået n år efter 2001, beskrives som en funktion f

f(n) = k \cdot 0,98^{(n-4)} = k \cdot \frac{1}{0.98^4} \cdot 0.98^n

hvor k betegner budgettet i 2001. Der er tale om en funktion af den slags, man kalder for en eksponentiel udvikling. Grundtallet er 0,98.

For en eksponentiel udvikling med grundtal b vil halveringstiden være

t_{1/2} = \frac{\ln (1/2)}{\ln b}

I dette tilfælde vil halveringstiden være 34 år, dvs. at statens budgetter er reduceret til det halve i 2035. Et tilsvarende regnestykke viser, at efter 14 år er budgettet beskåret med en fjerdedel — og det tidspunkt nåede vi i 2015. Samtidig er der en antagelse om konstant serviceniveau, og de offentlige institutioner (og de enkelte ansatte) er blevet pålagt stadigt flere forpligtelser.

Jeg ville gerne vide om den eksponentielle udvikling skal fortsætte på denne måde. Hvis ikke det er tilfældet, ville det være på sin plads, hvis regeringen kunne fortælle os, der arbejder i den offentlige sektor, hvad det acceptable bundniveau er for de offentlige budgetter.

Flattr this!

En dag ved tavlen

Tavlen om formiddagen. Tavlen så helt anderledes ud om eftermiddagen.

Dagen i dag var min sidste egentlige arbejdsdag i Lissabon. I går brugte jeg eftermiddagen på at besøge jeg det andet universitet her, Universidade Nova de Lisboa (UNL), ovre på den anden side af Tejo-flodens munding. Det var jeg nemlig kommet til at love Carla og Luis fra UNL, da jeg var på disse kanter for to måneder siden. Det gik som det skulle; jeg holdt et foredrag og fik talt med folk der.

Men nu var det tid til at få afsluttet det, der egentlig var formålet med mit besøg her, nemlig at komme videre med forskningssamarbejdet med mine kolleger på Universidade de Lisboa (UL). Dagen endte som en af de dage, hvor tre mennesker går frem og tilbage foran en tavle, skiftevis skriver ting ned og sletter dem igen og er højlydt i tvivl om det, de netop har skrevet, vældig meget af tiden.  Hvis folk uden for de teoretiske fagområder, hvor matematik spiller en stor rolle, havde overværet dette, ville de sikkert have undret sig – det er næsten så langt fra en normal samtale, som tænkes kan. Men sådan plejer de mest ide-intensive tidspunkter at udspille sig, i al fald inden for mit forskningsområde, og sådan har det været, så længe jeg kan mindes.

Til sidst indså vi, at vi havde fået nogle gode ideer og var blevet klogere, men at der var mere at lave, som vi ikke ville kunne nå nu. Vi tog billeder af tavlen om formiddagen, og jeg skrev ting ned i hånden på min iPad om eftermiddagen. På dén måde er tankeprocessen en anden end for bare 5 år siden. Formodentlig bliver vi nødt til at ses igen engang i det nye år, og sikkert i Lissabon (jeg er den ene af tre, der kommer udefra).

Bagefter var der kun tilbage for mig at tage metroen ind til centrum, få mig lidt at spise og at gå gennem den portugisiske hovedstad hvor der står store, lysende “julekegler” på flere af byens kendte pladser.

Flattr this!

Danske journalisters folkebevægelse mod matematik

math_describes_beauty_by_makaroniczos-d3d7gtj

Mange af os har mærket den danske litteraturs ubarmhjertighed på egen krop gennem skoleårene og ikke så få gange svedt eller bandet i mødet med digte, romaner, essays, og hvad det ellers hedder.

De hårde prøvelser har efterladt mange med et tvetydigt forhold til det danske skriftsprog og de specialister, der behersker det. Vi ser på ordenes verden med en blanding af frygt og fascination.

Nej nej, det mener jeg selvfølgelig ikke. Jeg holdt faktisk meget af dansktimerne i skolen (herunder i gymnasiet). Men en artikel i Politiken starter med at udbasunere at

Mange af os har mærket matematikkens ubarmhjertighed på egen krop gennem skoleårene og ikke så få gange svedt eller bandet i mødet med formler, algebra, brøker, og hvad det ellers hedder.

De hårde prøvelser har efterladt mange med et tvetydigt forhold til den oldgræske disciplin og de specialister, der behersker den. Vi ser på tallenes verden med en blanding af frygt og fascination.

Det er efterhånden meget tydeligt for mig, at så godt som alle danske journalister har et meget anstrengt forhold til de såkaldt eksakte videnskaber. Men alligevel: Hvorfor skal man altid lægge øre til den slags? Og hvorfor er det fuldstændig legitimt og naturligt for journalister at udtrykke deres negative holdning på denne måde?

For nogle dage siden kunne man (i Politiken!) læse en hyggelig historie om et københavnsk ægtepar, der mødte hinanden, mens de studerede matematik. Og intetsteds beskrives de som nørder, og intetsteds beskrives deres fag som problematisk. Det kan jo lade sig gøre.

Flattr this!

Slagsmål med en crackpot

251883_5_

Noget af det mest frustrerende, man kan komme ud for som en akademiker fra de såkaldt eksakte videnskaber, er en crackpot. Jeg følger med i matematik-forummet på Stackexchange.com og svarer nogenlunde jævnligt på spørgsmål. Forleden fik jeg så uforvarende et møde med en person, der viste sig at være en crackpot.

Hele den underlige udveksling kan ses på  http://math.stackexchange.com/questions/2011821/at-least-s-proper-subsets-of-set-s-for-which-there-is-a-bijection-with-s.

Spørgsmålet så umiddelbart helt uskyldigt ud; spørgeren efterlyste et bevis for at hvis S er en uendelig mængde, da er der mindst lige så mange delmængder af samme størrelse som S selv som der er elementer i S. (Beviset herfor er meget enkelt.)

Et af de klassiske resultater i mængdeteori er Georg Cantors klassiske resultat fra 1891, er dette: Lad S være en vilkårlig mængde. Da vil potensmængden \mathcal{P}(S), som er mængden af alle delmængder af \mathcal{S}, have flere elementer end S. Dette resultat gælder for vilkårlige mængder, dvs. også for uendelige mængder, og det har den konsekvens, at der er mere end én slags uendelighed.

Hele personens ærinde viste sig at være at hævde at en konsekvens af mit svar nu var, at Cantors resultat og hele bevisteknik, det såkaldte diagonalargument, er forkert. Diagonalargumentet er en velkendt og vigtig bevisteknik ikke bare i mængdeteori, men også i bl.a. kompleksitetsteori. Som man vil kunne se, blev jeg mere og mere opgivende. Alle mine forsøg på at anvende de præcise definitioner og på at forklare modparten at han/hun tog fejl, var forgæves: min modpart blev ved og ved med at glide af.  Jeg fik mere og mere lyst til at dunke hovedet ind i væggen, og til sidst var det ikke mit hoved, jeg her havde i tankerne. Jeg kaldte ham/hende for en crackpot – og det skulle jeg nok ikke have gjort. For han/hun kunne nu afsløre, at det tværtimod var Georg Cantor og alle, der accepterede Cantors begrebsapparat (og det er vi mange, der gør), der var crackpots!

Argumentet, som min opponent gentog igen og igen, var at der godt nok er en masse delmængder af \mathcal{P}(S) der har nemlig samme størrelse som \mathcal{P}(S), og derfor skal de bare ignoreres, og når man gør det, er S og \mathcal{P}(S) lige store! Præcis hvorfor og hvordan man skulle kunne gøre dette, blev aldrig klart. Den hjemmelavede idé om “surjektive funktioner der ignorerer noget af billedmængden” var nok til få alarmklokkerne til at ringe hos mig. Også ideen om at mængder, hvis elementer selv er mængder, på en eller anden udefineret måde er “anderledes”, gjorde mig særdeles urolig. Og da mine forsøg på at få modparten til at forklare mig, hvad definitionen på “samme størrelse”, også slog fejl, stod jeg af. Dette var en håbløs sag. En person, der undviger al præcision,  samtidig hævder at kunne tilbagevise en grundlæggende og klassisk (men kontra-intuitiv) matematisk sætning og tilmed mener at alle etablerede fagfolk tager fejl, er arketypen på en crackpot.

Jeg opdagede senere at samme person også har stillet lignende spørgsmål to andre gange på StackExchange. Og jeg har set, hvordan svarene var meget grundige og præcise og inddrog Zermelo-Fraenkel-aksiomerne, kontinuumshypotesen (i den svage udgave) og andre relevante begreber – men at denne crackpot altid forsøgte at dreje diskussionen ind på det samme, nemlig tilbagevisning af Cantor. Og jeg så at de andre deltagere i diskussionen begge gange endte med at blive frusterede og smækkede med døren, da de gik.

Det værste er, at en crackpot ender med at sluge en masse resurser og selv er et eksempel på Dunning-Kruger-effekten: At man kan tage så meget fejl, at man ikke kan bringes til at indse, hvor meget man rent faktisk tager fejl. I den akademiske verden tror vi alle på, at et godt og præcist argument kan overbevise modparten, men sådan virker det ikke, når man har fat i en crackpot.  Den amerikanske matematiker John Baez har en vældig god crackpot-indikator-liste, og den burde jeg nok have kigget på inden jeg spildte så megen tid på min opponent.

Flattr this!