Nætter med Tarski

I går fik jeg Alfred Tarski: Life and Logic, biografien om den polsk-amerikanske logiker Alfred Tarski. Bogen er skrevet af Anita Burgman Feferman og hendes mand Solomon Feferman, der begge kendte Tarski godt. Solomon, der selv er logiker, var endda en af Tarskis PhD-studerende ved Berkeley University, hvor Tarski tilbragte det meste af sin karriere efter 1939.

Alfred Tarski rangerer helt deroppe med Kurt Gödel og Bertrand Russell som en stor skikkelse inden for matematisk logik, og hans arbejde inden for semantik af formelle sprog har også haft stor betydning for mit eget forskningsfelt, der er semantik af programmeringssprog. Tilfældet ville, at det faktisk var i dag, jeg holdt sidste kursusgang i “Syntaks og semantik”, hvor emnet var en sætning om eksistens af mindste fikspunkter, som Tarski var med til at finde frem til.

Jeg har selvsagt ikke fået læst bogen endnu, men har selvfølgelig ikke kunnet nære mig for at bladre lidt. Bogen er fuld af anekdoter, kan jeg se. Ud over at være meget egenrådig og dameglad (hans hustru var bestemt ikke den eneste, der fik hans opmærksomhed), var Tarski tydeligvis arbejdsnarkoman, og vel også mere end dét – han var et ekstremt B-menneske, der holdt sig oppe hele natten takket være benzedrin (der er beslægtet med amfetamin). Og så var han storryger. En af hans PhD-studerende, Chen-Chung Chang, fortæller i bogen om hvordan han var hjemme ved Tarski til vejledning. Kl. 21 var Tarski som regel ved at komme op i omdrejninger. Der måtte ikke luftes ud, for den gode Alfred mente at røgen gavnede hans tankevirksomhed. Desværre var Chang astmatiker, men det var der ikke så meget at gøre ved. Ved to-tiden råbte Tarski på sin hustru. Lidt efter kom Maria så med kaffe til de to. Klokken halv fem om morgenen var Tarski stadig i fuld gang, og Chang kom først hjem og ud i den friske luft, når solen stod op!

(Uvilkårligt kommer jeg til at tænke på en polsk gæstelektor, jeg havde i min studietid. Han var storryger og røg hele tiden, mens han forelæste. Nogen Tarski var han dog ikke, men til gengæld var hans kursus ikke obligatorisk!)

Når jeg ser anekdoterne om Tarski i Feferman’ernes bog, kommer jeg til at føle mig usædvanligt almindelig. Der er næppe mange originaler som Tarski i dag, og det er både godt og skidt.

Fomenko

I går besøgte jeg Fredrik Bajers Vej 7G, hvor der er en del datalogi- og software-studerende, der har grupperum. Men indtil sidste år holdt Institut for matematiske fag til der, og jeg havde i den forbindelse selv et kontor der en overgang. Det er specielt at gå forbi den gamle frokoststue, der nu er halvtom, og se de tomme seminarrum med de mange hejsetavler, hvor jeg selv engang har stået og holdt et PhD-kursus i kryptografi. Et billede, jeg ofte har lagt mærke til før i tiden, er et litografi af Fomenko – og i går opdagede jeg at det stadig hang der. Nogen må have glemt det ved den pludselige flytning til Skjernvej. Så jeg tog et billede – helt bogstaveligt – og nu står det indtil videre på mit kontor på Institut for datalogi.

Men hvem er Fomenko så? Anatolij Fomenko er en ukrainskfødt matematiker (fra 1945), der er kendt for sit arbejde inden for differentialgeometri og topologi og i mange år har været professor på Moskvas Statsuniversitet. Og så skriver han også science fiction og tegner.

Noget, der kom bag på mig, er at Anatolij Fomenko også er en meget aktiv pseudohistoriker. Fomenko er nemlig overbevist om at verdenshistorien er fuldstændig løgnagtigt fortalt. Jesus skulle således have levet i det 11. århundrede og være blevet korsfæstet i Konstantinopel i 1086. Aristoteles skulle have levet i middelalderen, og faraonernes Egypten, antikkens Romerrige og Grækenland tilsvarende være frit opfundet af forfattere under Renæssancen! Beretningerne om kong Arthur og Englands tidlige historie er en forvrænget udgave af historien om det tidlige Byzans, der så selv er fabrikeret i den tidlige middelalder. Det der med fund fra oldtiden skal man ikke tro på, for kulstof-14-metoden er helt upålidelig ifølge Fomenko.

Hele denne omfattende konspirationsteori har han beskrevet i et værk på hele syv bind ved navn History: Fiction or Science? 

Dette giver det i forvejen lidt specielle sort-hvide billede endnu en dimension, for vi har i Fomenko endnu et eksempel på hvordan stor dygtighed inden for ét område kan leve sammen med himmelråbende galimatias på et andet. En af de personer, har udtalt sig positivt om Fomenkos pseudohistoriske arbejde, er i øvrigt den tidligere skakstjerne Garry Kasparov.

Banebrydende og banalt?

I dag læste jeg en klumme af Susan Knorrenborg, der nu forlader stillingen som debatredaktør på dagbladet Information til fordel for en stilling hos UNICEF. I klummen ser hun tilbage på nogle af de kronikker og andre debatindlæg, hun antog og som siden valgte genklang. Her har hun en meget interessant betragtning, der (så vidt jeg kan se) er fuldstændig generel:

Det slående er, at de mest geniale indlæg; dem, der for alvor vender op og ned på ens verdensbillede, ofte er dem, der hurtigst bliver banale. Det ligger i selve konceptet. De er som et par briller, man ikke kan lade være med at tage på. Man forundres. Hvorefter man vænner sig til sit nye udsyn. Det, der for et øjeblik siden var en afgørende ny tanke, bliver nu ens udgangspunkt. Noget, man tager for givet.

Jeg kom her til at tænke på, at jeg i går igen underviste studerende i det, der kaldes delmængdekonstruktionen i automatteori. Ideen bag konstruktionen er enkel at forklare, og heldigvis lykkes det de fleste studerende at forstå den.

Men hele ideen bag var engang dristig og nyskabende. Det var tilbage i 1959, den amerikanske matematiker Dana Scott og hans polsk/israelske kollega Michael Rabin, der begge var ved Princeton University, publicerede artiklen Finite Automata and Their Decision Problems.   Det var dette arbejde, der mange år senere, i 1976, gav dem Turing-prisen, der er datalogiens svar på Nobelprisen. I denne lille artikel dukker mange af de helt grundlæggende resultater om endelige automater op for første gang.

Derfor er det meget fascinerende at tænke på de dybe ideer fra for knap 60 år siden nu virker så banale, at de er blevet en del af det tidlige pensum på datalogiuddannelserne, ikke kun på Aalborg Universitet, men verden over. Men ideerne er jo netop slet ikke banale; hvis de var det, havde de ikke overlevet.

Derfor er det bedste kriterium for om et forskningsresultat er vigtigt, formodentlig ikke en måling af antal citationer mm. men om resultat en dag ender med at fremstå fuldstændig banalt.

Hvordan lærer man rekursion?

Når jeg holder eksamen i et kursus, kommer jeg altid til at overveje nye tilgangsvinkler til faget, for eksamen markerer ved sin blotte tilstedeværelse, at endnu et undervisningsforløb er slut. Da jeg i efteråret igen, efter et års pause, igen skulle være en af kursusholderne på kurset Programmeringsparadigmer, ved vores kandidatuddannelser i datalogi og software, begyndte jeg igen at overveje hvordan man kan undervise i begrebet rekursion. Rekursion er nemlig helt centralt for dette kursus. Og i disse dage, hvor jeg taler med de studerende om kurset ved mundtlig eksamen, dukker overvejelserne op til overfladen igen. Nogle gange virker det som om rekursion er et stedbarn på vores datalogiske uddannelser på Aalborg Universitet; emnet dukker op mange gange rundt omkring, men det det bliver formodentlig aldrig rigtig grundigt belyst.

Mange mennesker uden for datalogi og matematik kender rekursion fra naturfænomenet selvsimilaritet. Se bare dette romanesco-kålhoved:

Kålhovedet består af en masse mini-kålhoveder, der har samme form som det store kålhoved. Og mini-kålhovederne består af endnu mindre mikro-kålhoveder, der har samme form som mini-kålhovederne. Og så fremdeles.

Christian Rinderknecht, der er en fransk datalog, fik i 2014 publiceret en rigtig interessant oversigtsartikel om de mange forskellige overvejelser og tilgange, der er blevet gjort til at undervise i rekursion.

Det vil selvfølgelig føre alt for vidt at gentage artiklens hovedpointer her; de er mange. Især Rinderknechts redegørelse for undersøgelserne af hvordan børn, unge og voksne forstår rekursion gennem mentale modeller er interessante.

Men to af hans konklusioner slår mig. Den første er at kålhoved-eksemplet i sig har et problem: Det får det til at se ud som om rekursive strukturer er uendelige. Det er de jo ikke; kålhoveder er meget endelige størrelser; et kålhoved kan sagtens være i en stor gryde, et sted i kålhovedet er vi nede på molekyle-niveau, og et kålhoved-molekyle består selvfølgelig ikke af endnu mindre kålhoved-molekyler (faktisk stopper rekursionen jo længe før).

Den anden er at der faktisk er to måder at tænke på rekursion på. Den ene er den dynamiske/procedurelle, hvor man tænker på rekursion som “at kalde sig selv”. Den anden er den statiske/strukturelle, hvor man definerer rekursion strukturelt: At en rekursiv størrelse indeholder “en kopi af sig selv”. Når jeg tænker tilbage, er det nok aldrig lykkedes mig at gøre dette helt klart i min undervisning – men det er vigtigt at skelne og at gøre forbindelsen helt klar. I det sprog, jeg har undervist i, nemlig Haskell, dukker der både rekursive programmer op (og de er dynamiske) og rekursive data op (og de er statiske, Haskells svar på kålhovederne, de rekursive datatyper). Når man skal gennemvandre en statisk rekursiv struktur, f.eks. for at spise et kålhoved, skal man bruge en dynamisk rekursiv strategi, der passer til: Spis kålhovedet ved først at spise hvert af de små kålhoveder. Og så fremderes.

Alderen trykker

Råd fra ældre matematikere, gengivet fra Reuben Hersh’s artikel.

Skulle jeg nogensinde har tvivlet på, at jeg nu er oppe i årene, har det hjulpet at jeg

  • har fået indkaldelse til en screening for tarmkræft
  • har fået breve med opfordring til at blive medlem af Ældresagen
  • har fået et brev fra Magistrenes Pensionskasse om mulighederne for efterløn
  • har fået en fødselsdagshilsen fra min moster på 82, hvor hun nævner at jeg “da ikke er helt ung længere”

Den amerikanske matematiker Reuben Hersh, der i år bliver 91, kender jeg selv bedst for klassikeren The Mathematical Experience, som han lavede sammen med Philip J. Davis. Tilbage i 2001, da han kun var 73 år gammel, skrev han en artikel om at blive gammel som matematiker. Nogle har hævdet at “matematik er for de unge”, så Hersh sendte et spørgeskema ud til mange af sine venner og kolleger rundt omkring i verden for at finde ud af hvordan det egentlig er at blive ældre, når man har været aktiv matematiker. Den er rigtig interessant læsning, også for mig (og også fordi jeg nu har 11 år tilbage inden jeg kan gå på efterløn).

Mange af de ældre/gamle var stadig aktive forskere, selv efter at være gået på pension, mens andre nær pensionsalderen enten skiftede forskningsområde eller lige så stille trak sig tilbage. Mine mest citerede artikler er alle fra mine unge år, og dem er jeg da også glad for. Men jeg er også rigtig glad for det, jeg har publiceret inden for de seneste 10 år. Der er sket det, som så ofte sker, at jeg har udvidet mit forskningsfelt. Jeg holder meget af de rent teoretiske bidrag (alle mine mest citerede artikler er i denne kategori), men jeg er med årene også blevet interesseret i anvendelser af programmeringssprogsteori og i noget så anderledes som uddannelsesforskning. Det sidste er en direkte konsekvens af mine forsøg på at udvikle min undervisningspraksis. Jeg håber meget, at jeg stadig har nogle gode resultater i mig.

Hvorfor er datalogi så svært?

Mit nedbørs-program i Haskell.

Jeg kan selv huske studerende på første studieår, der interesserede sig for matematik og planlagde at studere matematik, men til gengæld syntes at datalogi var helt urimeligt svært. Mark Guzdial, der er universitetslærer i datalogi, har et interessant indlæg om hvorfor det virker som om det virker som om det er sværere at lære datalogi end andre naturvidenskabelige fag.

En af de helt oplagte grunde er, at der er så lidt ekspertise inden for undervisning i datalogi. Danmarks Matematiklærerforening blev stiftet i 1957, og derudover er der mange års erfaring med matematikundervisning i grundskolen og gymnasiet. Det er der bestemt ikke for datalogis vedkommende Jeg har ikke kunnet finde ud af, hvor gammel IT-Lærerforeningen (der tidligere hed Datalærerforeningen for Gymnasiet og HF) helt præcis er, men den er tydeligt yngre (vedtægterne blev til 2003). Og fordi der er så lidt ekspertise om undervisning i datalogi, ved vi kun lidt om hvad der er svært ved at lære datalogi. Matematik er også svært at lære (matematikkens didaktik er et særdeles aktivt forskningsområde), men her ved vi trods alt en hel del.

Noget tyder på at der i nogle henseender er nogle kognitive udfordringer ved at lære datalogi, som man ikke ser på helt samme måde i matematik. Datalogi kræver forståelse af algoritmer og deres virkemåde, og det er tilsyneladende her, der er særlige udfordringer. Jeg husker selv, hvordan matematikinteresserede studerende nogle gange kunne have det forbløffende svært netop med at tænke algoritmisk.

Guzdial nævner denne lille programmeringsopgave:

Lav et program, der indlæser en liste af tal, der angiver mængden af nedbør dag for dag. I listen kan der stå tallet -999, og det angiver at der nu ikke kommer flere tal af interesse (men der kan også være andre negative nedbørstal i listen). Programmet skal kunne beregne gennemsnittet af de ikke-negative nedbørstal op til første forekomst af -999.

Talrige undersøgelser viser, at studerende har forbløffende svært ved at besvare opgaven korrekt. Ifølge Guzdial er det altid mindst halvdelen af et hold studerende, der svarer forkert på den tilsyneladende lille og uskyldige opgave. Den skjulte udfordring i opgaven er, at man skal frafiltrere uønskede nedbørsdata og beregne flere størrelser ud fra de data, der er tilbage. Hver af disse kræver et lille delprogram. Det er blandt andet denne opdeling, der er en kognitiv udfordring, og måske viser opgaven i virkeligheden nogle vigtige tærskelbegreber.

Interessant nok kunne en anden amerikansk universitetslærer, Kathi Fisler, i 2014 give et eksempel på hold af førsteårs-studerende, hvor det gik meget bedre – de studerende havde det fælles, at de var blevet undervist i et funktionsorienteret sprog som deres første programmeringssprog.

Ovenfor ses min løsning skrevet i Haskell (der jo er funktionsorienteret); det der tog tid, var som altid at luge typefejlene ud. Nu har jeg jo programmeret i ganske mange år efterhånden og jeg underviser også i programmering i Haskell, så jeg er ikke en typisk testperson. Men det, jeg gjorde, var “bare” at skrive en udgave af de deludtryk, der indgår i formlen for den gennemsnitlige nedbør. Den slags er nemt i Haskell; springet fra matematikkens velkendte sprog er ikke så stort. Og så har jeg i øvrigt altid syntes, at matematik er nemmere end datalogi.

En forsinket hyldest til Kristensen og Rindung

En side fra bind 1 af Erik Kristensen og Ole Rindung: “Matematik 1”, 10. udgave, G.E.C. Gads Forlag.

I dag var jeg og min hustru på besøg hos min gamle matematiklærer Jens Friis og hans hustru; det er altid godt at se dem igen. Som så ofte ellers, når jeg er sammen med Jens, ender vi på et tidspunkt med at tale om matematikundervisning, et emne der har optaget os begge gennem mange år. I dag kom vi til at tale om de lærebøger i matematik, som blev brugt af så godt som alle i det almene gymnasium dengang jeg selv gik der fra 1979 til 1982. Bøgerne hedder noget så prosaisk som Matematik 1, Matematik 2.1 og så fremdeles, men de fleste kalder (og kaldte) dem bare for “Kristensen og Rindung” efter forfatterne Erik Kristensen og Ole Rindung. Alle fra min generation, der holdt af matematik i det danske gymnasium og senere studerede matematik, har vel et særligt forhold til netop Kristensen og Rindung.

Ét er indholdet. Når jeg i dag tænker tilbage på pensum fra dengang, går det op for mig, hvor meget matematikpensum har forandret sig. Mængdelæren er helt forsvundet, induktionsbeviser og ækvivalensrelationer ligeså, for sket ikke at tale om epsilon-delta-definitioner og over- og undersummer. Hele den aksiomatiske tilgang er for længst lagt på hylden. I vore dage ville man kunne genbruge Kristensen og Rindung som repetition af indledende universitetsmatematik – og jeg ved da også, at bøgerne nogle gange har fået netop dén rolle.

Et andet er fremstillingsformen. Man kan sige meget om Kristensen og Rindungs bøger, for de talte ikke til teenagerne, heller ikke dengang i 1979, men i dag holder jeg meget af at gense deres præcise og ordknappe skrivestil og af at se den pæne matematiske typografi, der vel repræsenterer state of the art af matematisk typografi, et årti inden TeX og LaTeX nåede frem til os. Og jeg kan ikke lade være med at tænke, at nogen burde genudgive Kristensen og Rindung eller i det mindste lade deres samlede værk blive almindeligt tilgængeligt på WWW. Det fortjener de.

Og er jeg den eneste, der kan huske en legendarisk opgave fra bind 2.1 (en opgave, som jeg aldrig nåede at regne) om en cirkulær ø med en biograf, der lå i øens centrum?

Noget om at formulere opgaver

NZ Qualifications Authority Lvl 1 Math/Stats Exam 2017 by The Guardian on Scribd

På det seneste har jeg tænkt en del over den vigtige rolle, som opgaver spiller i matematik og beslægtede fag.

I går fik jeg besøg på universitetet af en gymnasieelev, der laver en større skriftlig opgave i matematik og har valgt at fokusere på kompleksitetsteori. Hendes matematiklærer er en af mine gamle specialestuderende, og det viste sig endda også at hendes far var en, jeg også engang har undervist – og han var sidenhen adjunkt i datalogi på AAU i en årrække. Verden er lille! Hun spurgte mig, om jeg mon ikke kendte nogle gode opgaver om kompleksitetsteori, for hun syntes, hun lærte rigtig meget ved at løse opgaver. Jeg gravede lidt og fandt frem til Problems on Algorithms, der er en opgavebog af Ian Parberry og William Gasarch. Selve bogen står ikke længere på min hylde; nogen har vel lånt den og aldrig leveret den tilbage. Men den ligger nu frit tilgængeligt på WWW. Problems on Algorithms er en af de alt for få opgavebøger på universitetsniveau, jeg kender.

Og det var også i denne uge, der har været røre om en skriftlig eksamen i matematik fra high school i New Zealand; der er tale om det, der svarer til studentereksamen. En del lærere har givet udtryk for at de selv havde bøvl med at regne opgaverne, og en del elever, der ellers har fået gode karakterer i matematik, har givet udtryk for det samme. Og måske var netop denne eksamen for svær for eksaminanderne fra New Zealand, men jeg er ikke den rette til at vurdere det. Jeg synes ikke selv, den virker så slem, men jeg er også uden for målgruppen.

Det ovenstående rører ved noget af det, der er svært, men samtidig er noget, vi kun sjældent taler om som undervisere i matematisk orienterede fag: Det er en vigtig, men svær kompetence at finde på velegnede opgaver.  Ét er at opgaverne skal indfange de rigtige læringsmål. Et andet er opgavernes omfang og sværhedsgrad. Og et tredje er at bevare og indsamle de gode opgaver til efterslægten – og at lade de dårlige opgaver gå i glemmebogen i stedet for i opgavebogen.

Hvad er en god opgave så? Hvis man får sagt dette på den forkerte måde, kommer det til at lyde arrogant: Men det er min erfaring, at den samling opgaver, man stiller, skal være opgaver, man selv ville kunne løse på i alt ti minutter. Da vil det tage en gennemsnitlig studerende to timer at løse opgavesættet. Og nej, dette skyldes ikke, at underviseren er meget klog og at dem, der bliver undervist, er dumme, men derimod at man som underviser har en erfaring med og et overblik over stoffet, som de studerende, der først nu skal til at lære stoffet, af gode grunde ikke har. Formodentlig er det her, opgavesættet fra New Zealand har fejlet. Opgaverne har virket udfordrende på den, der stillede den, men det var netop dét, de ikke skulle være.

Smukke programmer?

Mit program til primalitetstest

I dag underviste jeg i kurset “Programmeringsparadigmer” på kandidatuddannelserne i datalogi og software. (Der var kun lidt under halvdelen af holdet på 90 studerende til stede; det ser ud til at være et vilkår nu, at mange bliver væk, men det er en anden snak.)

Denne eftermiddag tog vi fat i programmering i Haskell, der er et af mine yndlingsprogrammeringssprog, bl.a. fordi det er baseret så pænt på den typede lambda-kalkyle, som jeg holder meget af, og på sædvanlig matematisk notation. Jeg har til gengæld aldrig været så glad for de C-agtige programmeringssprog, som de studerende lærer at programmere fra første studieår og frem (og ja, jeg ved at det er en idiosynkrasi at have det sådan).

En af opgaverne gik ud på at lave en lille Haskell-funktion, der kan finde ud af om et naturligt tal er et primtal. Man kan skrive programmet på to linjer, og mange af de løsninger, vi så, lykkedes med det. På et tidspunkt sagde jeg (det var vist lige lovligt hoverende): Nå, det kan man nok ikke skrive på to linjer i et C-agtigt programmeringssprog! Jeg måtte trække i land – for det kan man jo godt. Linjerne skal bare være meget, meget lange.

Der var i det hele taget mange pæne løsninger fra de studerende i dag. Nogle steder undervejs så jeg nu også nogle underlige “knaster” i ellers pæne programmer, og dem bemærker jeg derfor endnu mere. Et typisk eksempel på en “knast” opstår, når man vil finde ud af om værdierne af variablerne p og q er ens. Mange skriver

if p = q then True else False

Dette udtryk er underligt at se, for det er sandt hvis og kun hvis p er lig med q. Det er nok at skrive p = q, men mange opdager det ikke – formodentlig fordi de først har lært programmeringssprog, hvor logiske udsagn ikke er “førsteklasses”.

Og alt dette får mig til at tænke på, at der jo er en form for æstetik i programmeringssammenhænge, præcis som der er i matematik, og at det er en æstetik, som vi nok ikke underviser i, men gerne vil fremme. Vi vil gerne kunne forklare, hvorfor det lille eksempel ovenfor er en “knast”.

Der er blevet tænkt over det af og til, men der er ikke rigtig nogen “datalogiens æstetik”, ligesom der heller ikke er en “matematisk æstetik”: Vi har ofte en vag fornemmelse af at “dette er pænt”.

Robin Hill, der er filosof og ansat ved University of Wyoming, men faktisk også har en baggrund i matematisk logik og i datalogi (hun har en Ph.D i datalogi) skrev sidste år en interessant lille klumme om hvornår programmer er elegante.

Hun fremhæver fire kriterier: (1) minimalitet, (2) at udrette det, det skal  (hun bruger ordet “accomplishment” her, men der er ikke nogen god oversættelse her) (3) beskedenhed (ikke at gøre uskøn brug af særligt snedige tricks), og (4) ny indsigt (hun bruger ordet “revelation” på engelsk, men “åbenbaring” lyder så underligt religiøst). Det er f.eks. ikke nok, at et program er kort – korte programmer kan være meget grimme og indforståede.

Det er et rigtig interessant bud, for præcis de samme kriterier kan man nemlig give for beviser i matematik. En skæg bog (synes jeg!) er bogen Proofs from THE BOOK, der er en samling af ekstra elegante beviser for grundlæggende resultater i matematik, og den gør brug af nogle meget tilsvarende kriterier.  Bogens titel henviser til den ikke helt ukendte ungarske matematiker Paul Erdös, der hævdede at Gud havde en bog i himlen, der rummede alle de mest elegante beviser for matematiske sætninger!

Og som en lille krølle vil jeg bemærke, at det måske ikke er så sært, hvis kriterierne er de samme. For et program i Haskell er jo faktisk også et bevis i typeteoretisk forstand: En type i Haskell er nemlig en logisk formel i intuitionistisk prædikatlogik, og et udtryk med denne type er i helt præcis forstand et bevis for denne formel.

Maksimal- og minimalkurser

Tæller gange tæller og nævner gange nævner – forklaret på to forskellige måder.

Da jeg i dag læste om ændringerne i matematikundervisningen i grundskoler i USA, gik det op for mig at der er tale om en ændring, der ligner én, jeg kender fra min egen universitetsundervisning. Hidtil har man i USA undervist i mange teknikker og emner, men man er aldrig trængt ned hvorfor regneteknikkerne er gyldige. Illustrationen ovenfor viser de to forskellige tilgange til at løse ligninger med brøker, hvor den ubekendte står i nævneren. I den første lærer man simpelthen “gange over kors”-reglen, som danske skoleelever også er blevet udsat for. I den anden skal man opdage at dette faktisk handler om proportioner, så derefter vil man bedre kunne forstå hvad man skal gøre.

Den gamle tilgang til matematikundervisning i USA er “flad” og ikke “dyb”. Den amerikanske matematik-didaktiker Heidi Schweingruber siger at

The US has a mile-wide, inch-deep curriculum with tons and tons of things and ideas for kids to learn, but not an opportunity to go in depth…

Dette minder om to forskellige tilgange til at organisere universitetskurser på. Nogle universitetskurser har et pensum med mange emner, som de studerende skal stifte bekendtskab med. Her er det så op til den studerende at skabe dybden ud fra den store overflade. Selv er jeg blevet en stadigt større tilhænger af det modsatte, nemlig at finde ud af hvad det mindste, fornuftige pensum kan være og så prøve at skabe fordybelsen dér. Det er forskellen mellem hvad jeg vil kalde maksimalkurser og minimalkurser.

Min egen fornemmelse er at minimalkurserne kan give den studerende et bedre udbytte, for hvis man først mestrer et (forholdsvis) lille antal emner, er man samtidig blevet bedre til at lære at lære, og derefter kan man så brede sig ud til et større del af faget. Men minimalkurser er også sværere at undervise, for de kræver langt mere fokus på fordybelsen.