Kategoriarkiv: Matematik

Børn af Brouwer og Prior

Luitzen_Egbertus_Jan_Brouwer

L.E.J. Brouwer

prior

Arthur N. Prior

Det er værd at tænke over at to af de vigtige erkendelser i datalogi kommer fra filosofiens verden. Også jeg er blevet grundlæggende påvirket af disse erkendelser.

I mange år var temporallogik, dvs. studiet af de logiske egenskaber ved udsagn om tid, et rent filosofisk område. Det hele begyndte med Aristoteles. Senere gav den newzealandske logiker Arthur N. Prior (hans navn er et fantastisk ordspil – det er i sig selv en temporal modalitet!) præcise matematiske formuleringer af temporallogikkens grundlag. Temporallogik som en tilgang til beskrivelse af programegenskaber skyldes israelske og amerikanske matematikere med nu afdøde Amir Pnueli som en af de helt centrale skikkelser. Temporallogik er et område inden for modallogik, og også modallogik som sådan har fået vigtige anvendelser i datalogi. Mange af de gamle diskussioner om hvorvidt modallogik og temporallogik overhovedet giver mening at beskæftige sig med er blevet lagt døde af de konkrete anvendelser.

Også intuitionisme har været et kontroversielt emne inden for matematik. L.E.J. Brouwers konstruktions-orienterede tilgang til matematik var begrundet i hans filosofiske overvejelser om matematikkens grundlag. Men inden for de seneste 30 år er intuitionistisk typeteori blevet vigtig inden for datalogi. Bindeleddet er den svenske logiker og matematiker Per Martin-Löf. I dag finder findes interaktive bevistjekkere som Isabelle og Coq stor anvendelse både til formalisering af eksisterende matematik og til kontrol af nye resultater. Især inden for programmeringssprogsteori er dette barnebarn af Brouwer blevet et vigtigt redskab. Tidligere har jeg skrevet om hvordan den fransk-canadiske datalog Georges Gonthier har formaliseret store resultater i grafteori ved brug af netop Coq. I kraft af alle disse praktiske anvendelser er mange af de gamle diskussioner om berettigelsen af konstruktiv matematik reelt blevet lagt døde af konkrete anvendelser.

Det, der er sket i begge tilfælde, er samtidig at det er det  matematiske begrebsapparat, der er blevet til, som har vist sig at udgøre berettigelse, ikke den underliggende filosofiske motivation. Samtidig har der i datalogi været forskere med baggrund inden for matematik og filosofisk logik, som har kunnet se forbindelsen – folk som Dana Scott, Robin Milner og Per Martin-Löf har udgjort dette vigtige bindeled.

flattr this!

En personlig matematisk grundlagskrise

Hver dag sin opdagelse på YouTube. Senest har jeg fundet N.J. Wildberger, der er en canadisk matematiker som er lektor ved University of New South Wales i Australien. Wildberger har lavet en lang række præsentationer, hvis fælles budskab er at matematikkens grundlag skulle være usikkert, og at han derfor nu vil rette op på det. Specielt er Wildberger ked af de reelle tal og vil gerne kunne nøjes med de rationelle tal.

Den slags får uvægerligt alarmklokker til at ringe. Lige nu går diskussion da også på hvad N.J. Wildberger er – er han en crackpot eller er der en faktisk indsigt bag alle hans præsentationer? Jeg har før hørt personer, som havde en kandidatgrad i matematik, udtale at de reelle tal burde afskaffes.

I præsentationen ovenfor kan man se hvor stor vægt Wildberger tillægger konstruktionsprocessen i matematik – for at kunne give en beskrivelse af det velkendte irrationelle tal \sqrt{2}, må han give en konstruktiv beskrivelse af udvidelseslegemer.

Men det forklarer også at Wildberger hverken er en egentlig crackpot eller i gang med at skabe en stor, ny indsigt i matematikkens grundlag. Han er så vidt jeg kan se simpelthen i gang med at genopfinde en form for konstruktiv matematik. Matematikkens grundlagskrise fandt sted for omkring 100 år siden, og N.J. Wildberger ser ud til at gennemleve sin egen lille udgave af den. Der er klare paralleller i hans tankegang til både Brouwers intuitionisme og til Kroneckers finitisme (omend ikke nær så godt formuleret). Wildberger lader til at ønske sig en konstruktiv matematik, der er konsistent med den klassiske – og i dét ønske minder han om den amerikanske matematiker Errett Bishop, der stræbte efter at skabe en konstruktiv matematik, der kun etablerede resultater, der også er klassisk gyldige. I Brouwers intuitionistiske matematik er det anderledes fat – bl.a. er et af de berømte/berygtede resultater at alle reelle funktioner er kontinuerte.

Om Wildberger direkte relaterer sit arbejde til nogen af dem, har jeg endnu ikke fundet ud af. Hvis der er noget nyt hos ham, er det en insisteren på at konstruktiv matematik er den rette tilgang at anvende i matematikundervisning.

flattr this!

Tom Lehrer

tom lehrer parkinson

En af de sangere, jeg blev fascineret af i min barndom, er amerikanske Tom Lehrer. Det var ikke så meget musikken – det var bare en mand, der sad ved sit klaver og spillede, og et publikum, der lo. Men teksterne var suveræne, og jeg lærte en del engelsk ved at prøve at forstå hvorfor publikum lo. Det viste sig at ganske mange af sangene var beske kommentarer til bl.a. truslen om atomkrig, til forureningen og til racismen i USA – og der var også nogle lidt mere snedige sange om seksuallivet, som jeg som barn ikke helt forstod (her mener jeg: hverken sangene eller seksuallivet).

Det var dengang hvor man spillede den slags i radioen, ja endda på P3. Jeg blev så glad for den sang, der hedder “Pollution”, at jeg fik min engelsklærer i 9. klasse til at tage den med i undervisningen – og jeg sad trofast og prøvede at lytte teksten af fra min egen båndoptagelse (jeg fangede næsten det hele!). Teksten holder desværre stadig – og det samme kan siges med de fleste af Lehrers øvrige sange.

Efternavnet er meget passende – Tom Lehrer var rent faktisk underviser og det endda i matematik. Han studerede oprindelig matematik på Harvard (hans område var anvendt sandsynlighedsteori), gik i gang med en PhD men blev aldrig færdig med den. Han arbejdede bl.a. for det herostratisk berømte NSA og i et forsøg på at undgå værnepligten for et firma, der havde kontrakter med militæret.

Tom Lehrer udgav kun 37 sange, men hans popularitet dengang i 1950erne og 1960erne var enorm. Thøger Olesen fordanskede nogle af Tom Lehrers sange, men selv om jeg sætter stor pris på Thøger Olesens værk, må jeg konstatere at ingen af hans udgaver lever op til de originale tekster på engelsk. Tom Lehrer er ganske enkelt for kvik! Jeg vil hævde at det bestemt også er tilfældet i dag – jeg kan ganske enkelt ikke komme i tanke om nogen nu aktiv sanger/sangskriver med en tilsvarende skarp og begavet pen.

Til sidst blev Tom Lehrer træt af alt postyret med at optræde og trak sig i begyndelsen af 1970erne helt tilbage fra scenen – bortset fra to gæsteoptrædender i London i 1998 .

Men han lever endnu. Ben Smith har en lang artikel på BuzzFeed om sit møde med Tom Lehrer.

Selvfølgelig lavede Tom Lehrer også en sang om matematik; den hedder “New Math” og blev til, dengang matematikundervisningen i grundskolen, inspireret af Bourbaki m.fl.,  tog fat på at indarbejde talsystemer og mængdelære. Netop “New Math” er en af de sange, der ikke holder sig så godt længere, for denne tilgang til matematikundervisningen er for længst passé. Nogen burde måske skrive Lommeregnerens indtogsmarch (til akkompagnement af Google).

flattr this!

Kolmogorov og Aleksandrov

kolmogorov-aleksandrov

Der er for tiden ekstra fokus på den omfattende diskrimination mod homoseksuelle og inter- og transkønnede i Rusland. Mange ved ikke, at to af de store russiske matematikere fra den 20- århundrede måske havde et homoseksuelt forhold. I sommeren 1929 besøgte Andrei Kolmogorov og Pavel Aleksandrov Sevan-søen i Armenien, der dengang en del af Sovjetunionen.  De tilbragte en måned på et kloster på en ø i søen.

Mens de var der, arbejdede de på hver sin vigtige artikel. Aleksandrov arbejdede på et af sine mange værker om topologi sammen med Hopf (Hopf og Alexandrov endte med at lave en bog sammen), mens Kolmogorov arbejdede på en artikel om kontinuerte Markov-kæder. Læs mere om deres ophold i en oversigtsartikel.
Artiklen koncentrerer sig om hvad Alexandrov og Kolmogorv bedrev af matematik og deres udbytte af den armenske kulturarv og natur (artiklens forfatter er fra Armenien).

Det er stadig uklart for mig om Kolmogorov faktisk var biseksuel eller bøsse eller ingen af delene. På den ene side bliver dette nævnt i bogen Naming Infinity, som jeg i sin tid har skrevet om her på bloggen. På den anden side er det er muligt at påstandene dukker op som beskyldninger i forbindelse med sagen mod Luzin (som også dukker op i Naming Infinity). I Sovjetunionen under Stalin-regimet føg det som bekendt med alle mulige rygter og folk blev anklaget for og dømt for meget, de aldrig havde gjort. I sagen mod Luzin blev Luzin netop selv anklaget for lidt af hvert. Den georgiske matematiker S.S. Kuteladze skriver i sin artikel “The Tragedy of Mathematics in Russia“, der netop handler om sagen mod Luzin:

Usually A. N. Kolmogorov was viewed as a calm person not liable to fits and extremes of temper. Therefore, he seemingly needed some special provocation from Luzin for slapping in Luzin’s face, which led to some apocrypha about an obscene remark from Luzin at the elections of 1946.26 An analogous version was mentioned by V. I. Arnold in private correspondence. It is not excluded that the available hints on topolozhstvo27 is a produce of the 1950s put in gossips for rehabilitation of the instigators of the “Luzin case.”

Sandheden om Kolmogorovs seksuelle orientering får vi formodentlig aldrig at vide. Måske havde han homoseksuelle forhold uden at tænke på sig selv som bøsse eller biseksuel – det er ikke ualmindeligt. Kolmogorov blev i 1942 gift med Anna Dmitrievna Egorova, og det er muligt at dette var et nødvendigt skalkeskjul. Jeg kan på den anden side ikke lade være med at tænke at Alan Turings seksuelle orientering blev brugt imod ham af den britiske efterretningstjeneste, mens det legendarisk alvidende KGB aldrig forfulgte Kolmogorov. Tværtimod blev han (helt fortjent) en af russisk matematiks helt store stjerner.

 

flattr this!

Finn Verner Jensen

2014-01-31 15.29.43

I dag var der afskedsreception for Finn Verner Jensen, der nu går på pension efter at have været ansat først som lektor og siden som professor på Aalborg Universitet. Finn har været med lige siden universitetets fødsel i 1974 og har haft en enorm betydning som initiativtager og inspirationskilde for mange af os.

Mit første minde om Finn er fra min tid som Mat 1-studerende, hvor han til F-klubbens julefrokost sang sin egen udgave af “Der er 25 minutter endnu” (og den handlede om mundtlig eksamen). Siden, på Mat 3, husker jeg Finn fra kurset Matematiske ræsonnementer, et kursus der har haft enorm betydning for min måde at tænke om matematik på – dette at kunne isolere de centrale begreber og de centrale ræsonnementsstrategier.

Som man måske næsten kan udlede (!), er Finn oprindelig logiker med en PhD i matematisk logik fra Polen, opnået midt under den Kolde Krig. Siden har Finn været vidt omkring fagligt inden han til sidst blev kendt som manden bag de grafiske modeller, som er så vigtige i grænselandet mellem statistik og maskinintelligens. Det var på denne måde Finn foretog en rejse fra matematik til den matematisk baserede del af datalogi (en rejse, også bl.a. jeg har taget, omend på en anden måde).

For mig har Finn også været en stor inspirationskilde pædagogisk (han var min faglige vejleder, da jeg tog adjunktpædagogikum for 21 år siden), som aktiv deltager i universitetspolitik og som tillidsrepræsentant for DM på mit fakultet. Da vi skulle revidere studieordningerne i datalogi og software, var Finn sammen med mig i udvalget bag og hans input var af stor betydning.

Receptionen i dag var en god anledning til at møde og tale med mange af dem, der som jeg har kendt Finn længe (jeg selv har “kun” kendt ham i 30 år). Jeg opdagede igen, at mange af os deler de samme bekymringer om den måde, den akademiske biks udvikler sig på i disse år.  Finn har været principfast og empatisk på én og samme tid og har troet på nogle illusionsløse idealer om den akademiske verden, som lige nu desværre ikke har det særlig godt. I sin på samme tid morsomme, gribende og indignerede tale kom han da også ind på bl.a. den ulyksalige New Public Management, som han meget rammende sammenlignede med leninismen – begge er baseret på at tillid er godt, men kontrol bedre.

Institut for datalogi bliver ikke det samme uden Finn.

flattr this!

Tre niveauer af matematisk præcision

rigorous

Der er ikke noget godt dansk ord for det engelske rigour (som i USA vanen tro staves rigor). Ordet betegner en blanding af matematisk modenhed og matematisk præcision i notation og ræsonnement. Ordet ville på dansk have nogle lidt trælse konnotationer af dødsstivhed, og det er heller ikke positivt at være rigoristisk. Lad mig her tale om matematisk præcision i mangel af bedre. I virkeligheden ser man ofte hvad matematisk præcision er, når den ikke er til stede.

Der er flere niveauer af matematisk præcision. Det første niveau ser man bl.a. hos de studerende, der slet ikke anvender matematisk terminologi og tyr til dagligsproget med lange og ordrige forklaringer. På overgangen til næste niveau ser jeg bl.a.  studerende der bruger selvopfunden terminologi (f.eks. de berygtede “finitte sæt af finale stadier”) og skriver “beviser”, der i virkeligheden bare er lister af (muligvis) korrekte påstande. De samme studerende vil ofte blive forvirrede, når man spørger dem om hvordan et begreb er defineret. Typisk bliver de usikre på om begrebet overhovedet har en definition, og måske bladrer de febrilsk i bogen for at finde ud af hvor den mon er.  Det kan være meget krævende at undervise studerende på dette niveau – det er svært at kommunikere med mennesker, som man endnu ikke har et sprog fælles med.

Der er andre studerende, der er vel ankommet til andet niveau. De kan godt læse en matematisk tekst, ved at symbolerne refererer til bestemte matematiske objekter og ved hvad manipulationer af symboler svarer til på “objektniveau”. De pågældende studerende går omhyggeligt frem – dvs. lige til de ser et symbol, de ikke har set før, eller der står et symbol på et uvant sted.  Så går den studerende i stå og skal bruge en del hjælp på at få “fejlen” (det kan være en fejl, men det er bestemt ikke altid tilfældet) neutraliseret. Det er som en compiler, der har set en syntaksfejl og nu ikke kan generere eksekverbar kode. Det kan være lige så krævende en oplevelse at skulle forklare en studerende, der har lavet en sådan fejl, hvori fejlen består, som det kan være at forklare notation for studerende på det første niveau.

Og så er der det tredje niveau, hvor man godt kan skrive det hele præcist op (eller ned) ved brug af notationen og bevise alle de små dele af beviset i blodig detalje, men ikke rigtig har så meget brug for det. Nu kan man vende tilbage til “det store billede” og f.eks. bruge geometrisk intuition om \mathbb{R}^2 til at tale om topologiske rum, selv om man godt ved at de fleste topologiske rum bestemt ikke har noget med \mathbb{R}^2 at gøre. PhD-studerende skal nå dette niveau, og en del specialestuderende når det heldigvis også. Det er her, det bliver rigtig sjovt at kommunikere – men også her, de mest mudrede faldgruber findes. Når man slår ud med armene, ender man let i et hul.

Den amerikanske matematiker Terence Tao har (som så ofte før) et interessant blogindlæg om netop dét. Det, han hæfter sig ved, er hvor svært (og nødvendigt) det er at nå til det tredje, post-rigorous niveau. Vi bruger en masse krudt på at få studerende løftet op fra niveau 1 – og det er også vigtigt. Men vi skal også gøre en indsats for at løfte i hvert fald nogle af dem videre op og for at få mest muligt ud af det tredje niveau.

To af Taos råd til at nå til og vedligeholde sig selv er at stille sig selv dumme spørgsmål og at genlære sit område. Især det sidste er en strategi, der er til stor nytte for mig. Når jeg prøver at undervise inden for mit eget forskningsområde (det er desværre sjældent, det kan lade sig gøre  der hvor jeg er havnet), lærer jeg altid noget helt nyt om det, jeg troede jeg kendte godt.Jeg lærer især at opbygge en ny intuition, når jeg skal forlader den pæne symbolmanipulation. Det sker ofte, når jeg skal motivere definitioner og forklare hvorfor sætninger er interessante.

flattr this!

2.9013 eller kaos

narr2

Der er en meget citeret artikel af Barbara Frederickson og Marcial Losada, der forsker i psykologi i USA. Denne artikel hævder at påvise at der findes en tærskelværdi, som afgør det mentale velbefindende: hvis man har 2,9013 gange så mange positive tanker som negative tanker, vil det gå én godt, har man derimod færre positive tanker, vil det gå én skidt. Frederickson og Losadas arbejde er blevet set som en bekræftelse af ideerne bag positiv psykologi, der er en retning inden for psykologi, der tager udgangspunkt i positive og sunde sindstilstande i stedet for i psykiske problemer. Der findes ganske mange selvhjælpsbøger og terapeutiske fremstød, der tager udgang i positiv psykologi.

Nick Brown på 53 år, der er deltidsstuderende i psykologi ved University of East London, stødte på Frederickson og Losadas artikel i et kursus og stillede sig selv det oplagte spørgsmål: Hvorfor er dette en konstant, og hvorfor har den lige præcis værdien 2,9013? Nick Brown kunne tilstrækkeligt med matematik (han har oprindelig en bachelorgrad i datalogi og ingeniørvidenskab) til at forstå at ligningerne i Losada og Fredericksons artikel er fuldstændig datauafhængige og består af en triviel anvendelse af Lorenz-ligningerne, der er tre koblede differentialligninger, som mange matematikstuderende møder tidligt i deres studium. Og så kontaktede han en kendt matematiker, ikke hvem som helst, men – Alan Sokal, der tilbage i 1996 gav sociologer røde ører ved at få en bevidst indholdstom artikel fyldt med matematisk jargon optaget i tidsskriftet Social Text. Det kom der en grundig artikel ud af.

Der er en lang og fascinerende artikel om hele denne affære i The Guardian.

Bemærk: Gendrivningen af Frederickson og Losadas artikel siger ikke i sig selv at positiv psykologi er en ukorrekt tilgang til psykologi. Der er bestemt grund til at være kritisk over for den måde, positiv psykologi bliver brugt til at individualisere problemer på. Den amerikanske forfatter Barbara Ehrenreich har en særdeles kritisk bog ved navn Smile Or Die om dette.

Men i denne sammenhæng bør Brown og Sokals gendrivelse få os til at tænke over hvilken rolle matematiske kompetencer har og bør have. Det er trist at en fagfællebedømt artikel af anerkendte forskere er sluppet igennem på denne måde.

Not many psychologists are very good at maths,” says Brown. “Not many psychologists are even good at the maths and statistics you have to do as a psychologist. Typically you’ll have a couple of people in the department who understand it. Most psychologists are not capable of organising a quantitative study. A lot of people can get a PhD in psychology without having those things at their fingertips. And that’s the stuff you’re meant to know. Losada’s maths were of the kind you’re not meant to encounter in psychology. The maths you need to understand the Losada system is hard but the maths you need to understand that this cannot possibly be true is relatively straightforward.”

flattr this!

Kapitalismens topologi

okonomi

Vi hører af og til påstande om at en lille håndfuld transnationale selskaber sidder på den globale økonomi, men ofte har det kun været påstande. Der er også modstridende påstande om hvordan de transnationale selskaber er forbundet: Er de isoleret fra hinanden? Er de indbyrdes afhængige? Udgør de forbundne komponenter (clusters) med forholdsvis få forbindelser?

I de seneste få år har dataanalyser gjort det muligt at undersøge om det faktisk er tilfældet. Her er en interessant artikel om netop hvordan ejerskabsforholdene er i den globale kapitalisme. Tre forskere fra ETH i Zürich har foretaget en dataanalyse af ejerskabsforholdene som de fremgår af databasen Orbis 2007, der rummer information om henved 30 millioner økonomiske aktørers ejerskab af aktieandele.

En stor del af arbejdet består i at opstille en passende grafteoretisk model, konstruere grafen ud fra data og derefter analyse de topologiske egenskaber (i grafteorisk forstand) som grafen har. Analysen konstruerer en orienteret, kantvægtet graf, hvis knuder er selskaber og hvis kanter angiver ejerskabsrelationer. Løst sagt angiver vægtene på en kant mellem selskab S_1 og S_2 hvor stor kontrol S_1 har over S_2. En ikke-triviel del af modellen er at finde ud af hvordan egenskaber i den store graf afspejler magtforhold (hvem der kontroller hvilke virksomheder).

Det er oplagt at forestille sig at den model for kontrol, som er anvendt, har betydning for hvad man kan sige om magtforholdene i den globale økonomi. Men artiklen undersøger tre forskellige modeller for kontrol og får i alle af dem et tilsvarende resultat. Det viser sig at der findes en  forbundet komponent (dvs. en mængde af knuder, hvori enhver knude kan nå enhver anden knude via en sti) som udgør hele 94,2% af økonomien. Denne komponent bliver tydelig i grafen, som vises på delfigur C ovenfor. Ydermere findes der i denne store komponent (som er kuglen i delfigur B ovenfor) en stærkt forbundet komponent på delmængde af 1347 aktører. Mange af disse aktører er rent finansielle firmaer – f.eks. Goldman Sachs og Deutsche Bank.

At så stor en del af den globale kapitalisme er inden for så begrænset et antal aktører viser hvor stor økonomiens sårbarhed er, og hvor stor indflydelse finanssektoren har.  Det bør samtidig så alvorlig tvivl om hvor megen fri konkurrence der egentlig findes.

flattr this!

Matematik ved fælles anstrengelser

polymath

Formodningen om tvillingeprimtal er den formodning at der er uendeligt mange primtalstvillinger, dvs. par af primtal, der som 5 og 7, 11 og 13 eller 17 og 19 har en differens på 2. For et stykke tid siden skrev jeg om den kinesiske matematiker Yitang Zhang (bosat i USA), som har kunnet vise et resultat der bringer os i det mindste et stykke tættere på at vise denne sætning - nemlig at der findes uendeligt mange tilstrækkeligt store primtal hvor det gælder at afstanden til næste primtal højst er 70 millioner. På det seneste er der sket en overraskende ny udvikling; det er ved fælles anstrengelser lykkedes at forbedre dette resultat betragteligt. Ideen bestod i at videreudvikle Zhangs bevisteknik, og seneste resultat er at James Maynard fra Montréal har fået afstanden ned på sølle 600. Dette er lykkedes via Polymath-projektet, hvor det matematiske samfund (eller rettere alle, der har lyst) i fællesskab kan forsøge at løse åbne matematiske problemer. Wired har en spændende artikel om arbejdet med primtalspar.

Polymath-projektet skyldes Tim Gowers fra Cambridge (ham har jeg også skrevet om før), og nu har Gowers så kastet sig over et andet af de helt store åbne  problemer, nemlig P=NP-formodningen. Han har produceret et langt manuskript med en idé til en strategi.

Man kan karakterisere kompleksitetsklassen NP på forskellige måder, og en af dem er via såkaldte Booleske kredsløb. Tim Gowers har som idé at forstå problemet ved at inddrage to tilsyneladende helt anderledes matematiske discipliner, nemlig topologi og målteori; han er ude på at vise at P er forskellig fra NP ved at vise en korrespondance mellem bestemte slags Booleske kredsløb og de Borelmængder, der svarer til vindende strategier i en bestemt slags spil i modelteori. (Borelmængderne er den mindste klasse af mængder, der skal tilføjes for gøre et topologisk rum til en sigma-algebra). Jeg vil ikke påstå at jeg har forstået de finere nuancer i dette, men ideen er interessant. Som Gowers selv siger, kan det sagtens være at den ikke holder vand, men den er interessant at undersøge.

Også Polymath-projektet er i sig selv værd at undersøge ud fra en videnskabs-sociologisk betragtning, for det peger frem mod en helt anden model for matematisk forskning, ja vel egentlig for forskning i det hele taget. Vi er vant til at sidde i små grupper eller måske helt alene og yde små bidrag i form af publikationer. Efterhånden bliver der skabt en syntese, men det kan godt tage utroligt lang tid. Hver især får vi kredit for vores publikationer – den slags er vigtigt i vore dages forskersamfund, hvor vi måles på antal publikationer og citationer. Den fælles anstrengelse bliver mere tydelig i Polymath-projektet, og der sker hele tiden noget  – fagfællebedømmelsen sker her og nu. Til gengæld er der muligvis ikke nogen publikationspoint i foretagendet. Hvad skal Clay Mathematics Institute gøre med præmien på 1 million amerikanske dollars som går til den, der viser at P=NP (eller omvendt) hvis “den” er Polymath-projektet? Jeg ved det ikke, og som Tim Gowers siger, er det jo faktisk Clay Mathematics Institute, der har problemet, ikke os andre. Og hvordan en videnskabsminister vil reagere, ved jeg slet ikke.

flattr this!

Noget om at gå ombord

ombordstigning

I år har jeg været på helt usædvanligt mange flyrejser. Hvis man har fulgt med på min blog vil man opdage, at jeg har været to gange i Italien, to gange i Spanien (den ene på ferie), én gang i Argentina, én gang i Sverige og én gang i det fjerne København. Da jeg skulle hjem fra Buenos Aires, skulle jeg med et fly hvor alle pladser var besat og alle de mange passagerer (flyet var en Boeing 747) havde en forfærdelig masse håndbagage med. Afgangen blev mere end 20 minutter forsinket på grund af den lange boarding-tid, og en konsekvens af det var at min indtjekkede bagage ikke kom med videre til næste afgang videre hjem.

Så det ville være rart, hvis man kunne undgå den slags. Det, der plejer at tage tid, når folk går om bord, er at vente bag alle dem, der står i gangen og vil lægge deres håndbagage og overtøj op i rummet over deres sæde.

Det er sådan et problem, der både er af stor praktisk betydning og spændende at gruble over. Vi har at gøre med et optimeringsproblem, hvor det vi skal optimere, er den totale ombordstigningstid, og det skal løses af en slags distribueret algoritme, udført af mennesker og med en central dispatcher.

Den amerikanske astrofysiker Jason Steffen har beskæftiget sig med ombordstigningsproblemet og har fået to publikationer ud af det. I den ene ser det ud som om passagererne har lov til at sætte sig lige hvor de vil. Jason Steffen er især interesseret i hvor lang tid det tager før alle kan begynde at lægge håndbagagen på plads. Det er dumt at lade passagererne på de forreste rækker gå ind først. Men hvis man lader de bageste gå ind først, kan man først  begynde at lægge sin håndbagage på plads, når den første passager er nået ned til sin plads. Jason Steffens analyse af forskellige strategier er baseret på statistisk analyse af simuleringer. Jeg kan dog ikke se, om han i sine simuleringer har undersøgt hvor lang tid en gennemsnitspassager bruger på at lægge sin håndbagage op i forhold til hvor lang til hun/han bruger på at gå ned til sin plads. Min erfaring er at håndtering af egen håndbagage kan tage forbløffende lang tid, især med de forholdsvis store håndbagagekufferter, man nu kan anskaffe sig. Hvis alle starter med at gå ned til deres plads, er gangen nemlig altid passabel.

Men der er da også en anden, helt enkel metode som KLM nu forsøger sig med: Del passagererne ind efter om de skal sidde ved vinduet, midt i eller ved gangen.  Og ordn dem også efter rækkenummer. Send dem ind i denne rækkefølge – først vinduespassagerer, ordnet efter række med bagerste først, derefter midterpassagerer tilsvarende ordnet og til sidst gangpassagerer tilsvarende ordnet. Ingen kommer til at gå i vejen for hinanden. Det ser ud til at denne algoritme forkorter ombordstigningen med fem minutter for et fly med 170 passagerer. Min umiddelbare tanke er hvorfor man dog ikke har tænkt på dette før?

flattr this!