Bevisets stilling

Jeg har siddet og rettet ca. 30 eksamenssæt fra kurset “Syntaks og semantik”, som jeg har holdt i dette forårssemester. Det er en blandet fornøjelse; mange har heldigvis svaret godt, men der er nogle misforståelser, der går igen og igen. Af og til spekulerer jeg på, om hvorfor det mon er tilfældet. Er der mon nogle fredagsbar-seancer, hvor man aftaler den slags? (“Er vi så enige om, at hvis vi får en opgave om det her, så skriver vi ikke det rigtige, men at…”)

Tankegangen bag matematiske beviser falder en del studerende meget svært, og meget af problemet kan føres tilbage til problemer med at forstå kvantorer fra førsteordenslogik og konnektiver fra udsagnslogik. Et sted, hvor man ser dette meget tydeligt, er i anvendelserne af de to Pumping Lemmaer fra formel sprogteori. Det er matematiske sætninger, der er på formen:

Hvis L er et regulært (eller kontekstfrit) sprog, så findes der en konstant p, så at der for enhver streng s \in L af længde mindst p findes en opsplitning som opfylder…

Disse sætninger har form af en implikation (hvis…så). Det eneste, man kan bruge disse sætninger til, er derfor at vise at et sprog ikke er regulært, hhvs. kontekstfrit – netop fordi der ikke er tale om en biimplikation. Bevisteknikken er kontraposition; vi viser, at konklusionen ikke kan være sand for L. Men dette har en del studerende problemer med; enten tror de, en implikation og en biimplikation er det samme eller også vender de implikationen forkert.

Et andet problem – og det er her, man skulle tro, misforståelserne var aftalt, for jeg har kunnet finde et stort mindretal blandt de 30, der går ind får det – er i beviset for at konklusionen er falsk for et givet L. Konklusionen har en eksistenskvantor (“der findes et p…”) yderst, og for at modbevise den, skal vi vælge en streng s \in L og vise, at intet valg af p giver en gyldig opsplitning af s, dvs. vi skal undersøge alle opsplitninger for et vilkårligt p. Men en udbredt fejl er nu denne:

Vi sætter p=2, vælger en streng af længde 2 og en opsplitning af denne. Men denne opsplitning er ugyldig, og beviset er nu færdigt.

Med andre ord er der mange, der tror på et aksiom på formen

(\exists p. \exists s. \neg P(p,s)) \Rightarrow (\forall p.\forall s \neg P(p,s))

Jeg har aldrig rigtig kunnet finde ud af, hvor dette udbredte fejl-ræsonnement kommer fra. Det kan næppe stamme fra dagligsproget; når jeg fortæller de studerende, at jeg ikke kan konkludere, at min kuglepen ikke er på universitetets område, bare fordi den ikke er på mit kontor, kan de sagtens se det fejlagtige i ræsonnementet.

Når det er så svært at lære studerende matematiske ræsonnementer, skyldes det formodentlig netop, at der for dem ikke fremstår nogen simpel forbindelse mellem dagligsprogets logik og tilsvarende ræsonnementsformer i matematik. Det er, som om matematikkens sprog og dagligsproget ofte kommer til at rejse i hver sin kupé. For nogle studerendes vedkommende er de ikke engang placeret i samme tog.

Det er ikke blevet lettere med årene, for indholdet af matematiske ræsonnementer i ungdomsuddannelsernes matematikundervisning er nedtonet en hel del efterhånden. (Og moderne datalogistuderende har ikke matematik som deres andet fag; næ, da far var dreng…) Men også da jeg gik i gymnasiet, var der en splittethed i undervisningen. Jeg kunne nemt anvende teknikkerne og f.eks. beregne bestemte integraler med brug af stamfunktion, og jeg vidste, at et integral er det tal, der skiller oversummer fra undersummer og jeg så også beviset for Fundamentalsætningen. Men hvor godt forstod jeg sammenhængen? Det var som om regneteknikker og ræsonnementer levede i hver deres verden.

Og når vi i dagligsproget rask væk benytter os af usunde slutningsregler, gør vi livet endnu vanskeligere for os selv. Dagligsprogets “argumentation” er fuld af fejlslutninger i logisk forstand; hvis nogen er i tvivl om dette, skal de bare se tv-avis!

De underlige talmennesker

Med meget ujævne mellemrum dukker der fiktion op, der handler om de matematiske fag. De eneste film, jeg kan komme i tanke om, er faktisk begge fra nyere tid, nemlig

  • Et smukt sind om John Nash, der fik Nobelprisen i økonomi for sit arbejde om spilteori og Nash-ligevægte, men også var paranoid-skizofren (hans psykiske sygdom er filmens fokus) og
  • Good Will Hunting om den fiktive Will Hunting fra M.I.T. Han er vist grafteoretiker, men er også (undskyld ordspillet) en irrationel rod, der græder ud ved Robin Williams’ skulder.

I begge disse dramaer er matematikeren et martret geni, der slås mod misforståelser og for at holde kærligheden til en kvinde i live. Heldigvis for det kvindelige publikum er hovedrolleindehaveren en mand, der ser godt ud (henholdsvis Russell Crowe og Matt Damon). Så er der også It’s My Turn helt tilbage fra 1980. Den har jeg så desværre ikke set, thi den er ikke nem at opdrive, men i den film er matematikeren en kvinde, Jill Clayburgh (der ser godt ud), og filmen er vist i den mere muntre ende. Det mest matematiske øjeblik i filmen – ja, måske i hele Hollywoods historie – optræder så vidt jeg ved i filmens start og kan ses herover.

Det drejer sig om slangelemmaet fra homologisk algebra (som mindst én af denne blogs læsere vil kunne forklare bedre, end jeg tør prøve), komplet med et bevis ved diagram chasing. Det er altid hyggeligt at starte en romantisk komedie med kommutative diagrammer og en lille snak om entydighed af morfier.

Jeg tror ikke, der har været nogen film om forskere fra datalogi – et om muligt endnu mere misforstået fag end matematik. Der er også kommutative diagrammer i teoretisk datalogi, men de vil næppe blive filmatiseret foreløbig. Til gengæld har der været masser af computere.

Faktisk er jeg ret overbevist om at man kunne lave en god film om Alan Turing. Der er i hvert fald tale om en historie med kostskoleliv, krig, matematik, maskiner og en martret mand, der slås med og for sin seksualitet og ender med at begå selvmord. Men måske har Hollywood lige så svært ved denne kombination af en decideret unhappy ending og en helt, der er bøsse, som briterne havde ved at anerkende Turings store indsats?

Uendelighedens navne

Jeg blev for nylig færdig med at læse Naming Infinity, en spændende bog af Loren Graham (amerikansk matematikhistoriker) og Jean-Michel Kantor (fransk matematiker). Naming Infinity fortæller historien om en uventet forbindelse mellem matematik og religiøs mysticisme. En russisk-ortodoks sekt af såkaldte “navnetilbedere”, der var aktiv i årene op til den russiske revolution og blev fordømt som kættere, talte også en matematik-uddannet munk ved navn Pavel Florensky (som man ser ovenfor; også efter revolutionen var “navnetilbederne” forfulgt, nu ikke af den ortodokse kirke, men af kommunisterne). Florensky var ven med Nikolai Luzin (kendt fra Luzins sætning i målteori) og havde igennem ham også påvirkning på “Moskvaskolen”, den meget aktive kreds af matematikere omkring Egorov. Og via Egorov var der forbindelse til den franske skole med Lebesgue, Baire og Borel.

Bogens tese er, at “navnetilbedernes” tro på at man ved at gentage en kort bøn med guds navn igen og igen kunne komme nærmere til sin gud afspejles i bl.a. mængdelærens behandling af transfinitte ordinaler. Ved at navngive et matematisk objekt via dets egenskaber gøres det virkeligt – en slags “omvendt nominalisme”.

Sjovt nok er mit eget forskningsområde inden for teoretisk datalogi nominelle proceskalkyler, notationer for parallelle beregninger. Robin Milner (der selv havde studeret matematik og filosofi – det var før datalogien fik et navn og dermed blev virkelig) var med til at skabe dette område via pi-kalkylen, og her er ideen om at kende en beregningsresurse ved at kende navnet på dens reference-kanal central.

Naming Infinity er hermed anbefalet, hvis man vil vide noget om en interessant periode i matematikkens historie og (endnu engang) få udfordret en forestilling om at den tilsyneladende mest rationelle aktivitet vi kender, kun har rationel oprindelse. Det er også interessant at læse om menneskene Lebesgue, Borel, Luzin og andre og derigennem få sat ansigt og livshistorie på navne, jeg ellers kun har kendt i forbindelse med sætninger i et kursus fra for længe siden.

Og hvor blev jeg så opmærksom på bogen? Såmænd via en anmeldelse af bogen i dagbladet Information af Annegrethe Rasmussen, der så vidt jeg ved aldrig har studeret matematik. Nu spekulerer jeg så på, hvad hun fik ud af bogen og hvorfor hun kunne lide den.

Hvad er matematik?

Engang var jeg en vred ung matematikstuderende; i dag er jeg en vranten midaldrende universitetslærer på Institut for datalogi. Sic transit gloria mundi. Dengang i 1983-84 stykker var jeg sammen med en række andre vrede unge matematikstuderende om at lave Mat 3-projekt under problemformuleringen Hvad er matematik?

Selvfølgelig fandt vi aldrig svaret; spørgsmålet var alt for bredt og naivt, og vi blev da også belønnet på passende vis med en for nogle af os uvant middelmådig karakter. I en del år brugte jeg mest “Hvad er matematik?” som en slags selvhånende kommentar i samtaler med gamle studiekammerater. Men efterhånden dukkede spørgsmålet op hos mig som et ærligt spørgsmål, efterhånden som jeg begyndte at interessere mig for matematisk logik i forbindelse med mit virke i teoretisk datalogi.

Sidste år fik jeg omsider læst Andrew Hodges’ monumentale biografi af Alan Turing, Alan Turing: The Enigma, og her kan man allerede i forordet læse om hvordan en af Turings studerende, Audrey Bates, blev inspireret til at programmere Manchester-maskinen til at finde normalformer i lambda-kalkyle.

Lambda-kalkylen skyldes Alonzo Church og er en lille notation for beregnbare funktioner, og notationen er forsynet med få og enkle reduktionsregler. Ovenfor kan man se beta-reduktionsreglen, som intuitivt set blot forklarer, at en funktion anvendes på en værdi ved at indsubstituere værdien på argumentets plads overalt i forskriften. Et lambda-udtryk er på normalform, hvis ingen reduktionsregel kan anvendes på det.

På Turings tid var Audrey Bates’ arbejde lidt underligt, syntes man – for var det overhovedet matematik? Alonzo Church’s arbejde om beregnbare funktioner havde ikke rigtig noget med tal at gøre, og matematik er da videnskaben om tal, ikke? Og computere kan kun bruges til store beregninger på tal, ikke?

Også i dag kan man møde denne holdning: at matematik først og fremmest er videnskaben om tal. Nogle matematikere synes, at matematisk analyse er “den rigtige matematik”, andre holder på algebraen som “den rigtige matematik” – og mange er enige om at f.eks. teoretisk datalogi i hvert fald ikke er rigtig matematik.

Jeg ved ikke, om jeg er matematiker i dag. Det vildeste resultat fra analyse, jeg har brugt i min forskning, er Banachs fikspunktssætning for kontraktioner, og det er meget tamt. Nogle matematikere har kaldt mig matematik som en form for erkendelse af et fællesskab, nogle dataloger har kaldt mig det i en slags forsøg på at definere mig som forskellig fra dem. Men hvis matematik ikke defineres ud fra et genstandsområde men snarere som en metode, der anvender præcist definerede begreber og opstiller sætninger, der skal bevises ved brug af alment gyldige, tilstræbt objektive inferenser, da er vel også jeg matematiker i 2011. Jeg har aldrig lavet forskning uden denne metode, og jeg kommer formodentlig aldrig til det.