Gödel – altid misforstået

Jeg blev tidligt fascineret af Kurt Gödels resultater om ufuldstændighed; jeg kan huske at jeg lånte en bog om grafteoriens historie, der sluttede af med nogle refleksioner over dette vigtige resultat. Kort tid efter udsendte min daværende Mat 1-vejleder Preben D. Vestergaard sin bog Løste og uløste matematiske problemer, og heri skrev han også om Gödels sætninger. Efterhånden blev jeg opmærksom på at også personer helt uden baggrund inden for matematik – ofte sociologer og andre – begyndte at inddrage Gödels ufuldstændighedssætning i deres diskurs. Alle mulige interessante konklusioner om Guds eksistens, umuligheden af et socialistisk samfund med total retfærdighed og umuligheden af metoder til systemudvikling væltede frem.

Til sidst kom dagen, hvor jeg selv blev i stand til at sætte mig ind i hvad Gödels sætninger udsiger, og fra da af har jeg været træt af misbruget af Gödels sætninger uden for det område, hvor man rent faktisk kan tillade sig at bruge dem. Det gik op for mig, at Gödels resultat om fuldstændighed af førsteordens-logik er et lige så vigtigt resultat inden for matematisk logik. Det er det resultat, der fortæller os at en førsteordens-formel \varphi er bevisbar fra hypoteserne \Gamma ud fra aksiomerne og reglerne i førsteordens-logik, skrevet \Gamma \vdash \varphi hvis og kun hvis \varphi er sand i alle de strukturer, hvor alle hypoteser i \Gamma er sand, skrevet \Gamma \models \varphi. Dvs. at bevisbarhed er det samme som sandhed i førsteordens-logik; $\latex \models$ og \vdash er den samme relation. Men det er en sætning, ikke ret mange, der ikke har fulgt egentlige kurser i logik kender til.

Men nu tilbage til ufuldstændighedsresultaterne, som der er flere af. Det, de fleste når til, og kløjs i, er det første resultat. Det er det, der siger at der i en “tilstrækkeligt stærk” teori inden for førsteordens-logik findes en formel \varphi\Gamma \models \varphi men at vi samtidig har at \Gamma \not\vdash \varphi. Hvad er så en “tilstrækkeligt stærk” teori? Det er en teori, der ud over de rent logiske aksiomer, der fortæller om kvantorerne (\forall og \exists) og konnektiverne (\vee, \wedge og \neg) indbefatter Peanos aksiomer for de naturlige tal og principperne om at man kan definere de såkaldte primitive rekursive funktioner over de naturlige tal (eller rettere: funktioner af type \mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N} for alle k).

Gödels trick er at kode bevisbarhedsrelationen ved brug af de naturlige tal og primitive rekursion. På en måde er hans bevis et meget tidligt Haskell- eller ML-program!

Her er vi allerede langt væk fra sociologi og postmodernisme, som man kan regne ud.

Det bliver ikke bedre for sociologerne med det andet ufuldstændighedsresultat, der siger at man inden for en “tilstrækkeligt stærk” teori (i samme forstand som ovenfor) kan bevise at teorien er konsistent hvis og kun hvis teorien faktisk er inkonsistent.

Sociologiske teorier, politiske anskuelser, religion osv. er ikke formelle logiske teorier. Nogle af dem er ubestrideligt primitive, men der er ikke megen primitiv rekursion over dem af den grund.

Den svenske logiker Torkel Franzén, som jeg i sin tid fulgte på nyhedsgrupperne på Usenet (inden for alle mulige emner lige fra matematik til film) og nogle få gange e-mail-korresponderede med (om småting), var lige så træt af alle misforståelserne af Gödels resultater som jeg er. Men han havde kompetencen og energien til at gøe noget ved det; i 2005 skrev han en bog, Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. Hvis man ikke har kræfter til at binde an med den, kan man starte med Franzéns lille, velskrevne artikel i Notices of the AMS.

Jeg nåede desværre aldrig at møde Torkel Franzén. Han døde i 2006, kun 56 år gammel.

Om Kurt Gödel kan der fortælles meget, men det må vente til en anden dag.

Bevægelsen mod Powerpoint

De allerfleste præsentationer i vore dage bruger slides, der er lavet med Microsoft Powerpoint (eller et lignende stykke software). Uanset om det er Dansk Magisterforenings fyraftensmøde om mindfulness og stress, et foredrag om USAs krig mod terror eller et foredrag om typesystemer for pi-kalkylen får vi slides serveret. Nogle gange sidder tilhørerne samtidig og kigger på de samme slides på deres medbragte bærbare computere.

Hele rejsen mod denne situation begyndte vel for knap 20 år siden, hvor nogle af mine kolleger begyndte at bruge Powerpoint til at lave plastic-slides og at anvende de samme slides som eneste kursusmateriale i deres undervisning. Først lod jeg mig modvilligt rive med i begejstringen, men for 14 år siden stod jeg af. I kursusundervisning, hvor jeg selv har kunnet planlægge indholdet, bruger jeg ikke slides mere, kun tavle/kridt eller whiteboard/pen. Sidste år overtog jeg to kursusgange i et kursus, hvor de 3 andre kursusholdere brugte slides, og nu hang jeg på en anden persons slides. Det var ikke så sjovt at falde af vandvognen kortvarigt. Tempoet går uvilkårligt op, når man med et tryk på en knap kan vise næste skovlfuld tekst eller (hvad endnu værre er) formler.

Nu er der opstået et schweizisk parti, der kalder sig Anti-Powerpoint Party. Et politisk parti er måske så meget sagt, for som de skriver på deres webside:

In the future, those in companies, congresses, universities, schools, who want to renounce PowerPoint*, should not have to justify themselves any longer. We do not want to abolish PowerPoint*; we only want to abolish the PowerPoint*-CONSTRAINT.
We want that the number of boring PowerPoint* presentations on the planet to decrease and the average presentation to become more exciting and more interesting. The solutions are there, but nobody pays attention to them.

We are truly not pursuing any political goals. When we have enough proponents, we can quickly become the fourth biggest party in Switzerland by the number of members. Thus, the media cannot ignore this problem any longer and the problem will be reported widely and deeply. This is the only reason, why we exist.

Alt for mange bruger slides som en slags erstatning for notater, så slides bliver en “nem genvej”. Dette ser man ekstra tydeligt ved fremlæggelser på første studieår, hvor de helt grønne studerende laver slides, der i stort omfang er indforståede gnidrenoter til dem selv og er ubrugelige for tilhørerne.

Problemet er ikke slides i sig selv, som det schweiziske parti da også udtaler, problemet er den åndløse brug af dem. De, der fremlægger mundligt, skal være bevidste om deres virkemidler. Anti-Powerpoint-partiet ser flipcharts som et alternativ. Det er nu ikke nok; af og til er man nødt til at bruge slides. Komplicerede figurer kan man selvfølgelig ikke tegne selv. Så er man nødt til at bruge en slide – men først skal man naturligvis grundigt overveje, om figuren overhovedet er nødvendig at formidle i sin komplicerede form.

Men derudover er jeg enig i kritikken, og jeg har meldt mig ind i partiet, Prøv at besøge deres Horror Slide Of The Month. Spaghettiretten ovenfor stammer derfra.

Et trist jubilæum nærmer sig

Snart er der gået 10 år siden terrorangrebene i USA d. 11. september 2011. I Foreign Policy har David J. Rothkopf en oversigt over de 10 vigtigste begivenheder/udviklinger, der har fundet sted inden for de seneste 10 år. Hans for sikkert en del amerikanere lidt overraskende konklusion er, at terrorangrebene langt fra er de mest betydningsfulde hændelser i denne periode. BRICS-landenes stærkt øgede rolle, den globale opvarmning (som ingen gør noget ved), det mobile internet, de sociale medier og revolutionerne i Mellemøsten i 2011 er nogle af de fænomener, han ser som vigtigere. Til sidst skriver han:

So, does all this mean 9/11 was not important? Of course not. It was a significant day in the life of America, a turning point in our view of our vulnerabilities and of the nature of threats and real power in the world. It led us to question many of our assumptions about the nature of our country

[…]

Foremost among those lessons, however, must be that we as a nation need to summon the discipline in times of great national challenges to frame events in the broader context of time and our larger interests. We cannot allow single isolated events to warp our view of all around them, like historical black holes twisting the fabric of adjacent time and events.

Et interessant og vigtigt citat fra en amerikansk journalist i en tid, hvor der er en forbløffende stor fascination af fortiden.

Erfaringer og kvalitet


Engang lavede Jyllands-Posten en undersøgelse af datalogiuddannelser i Danmark, og her var det Aalborg Universitet, der kom ind på førstepladsen som den datalogiuddannelse, hvor de studerende var mest tilfredse. Jeg har prøvet at finde frem til undersøgelsen, men forgæves. Ville en tilsvarende undersøgelse i dag give samme svar? Jeg er i tvivl. Min fornemmelse er nemlig, at de studerendes tilfredshed er for nedadgående og at en af årsagerne er de vilkår, vi byder dem.

En lang række politiske beslutninger har efterhånden drastisk ændret vilkårene for alle universitetsuddannelser – forbud mod gruppeeksamen, universitetsloven af 2003, stramninger af SU-regler, taksameterfinansiering og så fremdeles. Der er kommet et overvældende fokus på konkurrence om midlerne, og det er blevet stadigt sværere at gøre karriere som universitetslærer. Mange akademikere er i dag har kortvarige ansættelser i PhD-stipendier eller postdocs, og mange undervisningsopgaver løses i dag af disse løstansatte medarbejdere, hvoraf ganske mange kommer fra udlandet.

Dette kan ikke undgå at gå ud over undervisningens kvalitet. Det er hverken sjovt for de normalt meget pligtopfyldende løstansatte undervisere, der hyppigt kastes ud i nye opgaver, eller for de studerende. På første studieår på Aalborg Universitet er det store mål, at de studerende skal lære at lave problemorienteret projektarbejde og dermed blive i stand til at lære at lære. De studerende er uerfarne (i sagens natur), men hvis deres vejleder også er det – og måske endda ikke kan tale og forstå dansk – er der yderligere et problem.

Lad mig skynde mig at understrege, at dette ikke er den enkelte vejleders skyld som sådan, og at jeg bestemt ikke er ude på at følge en dansk tradition med at give dem, der kommer hertil fra udlandet, skylden. Det er i høj grad kombinationen af den proces, hvorunder tildelingen af arbejdsopgaver finder sted, og de faktiske underviserresurser, der skaber situationen. “Kvalitet af undervisningen” er blevet et smukt, men tomt begreb i stil med “ligestilling” og “tolerance”. Ligesom ingen indrømmer at være ligeglade med ligestilling eller tolerance, vil ingen indrømme at de er ligeglade med kvaliteten af undervisningen.

Og nu går der kortvarigt politik i det (men forsigtigt): Husk, at der snart er folketingsvalg. Når I stemmer, så tænk over, hvad politikerne siger (og ofte ikke siger) om hvordan de vil sikre kvaliteten af uddannelserne.

Men vi kan samtidig også gøre noget selv: Vi kan blive bedre til at formidle vores erfaringer videre. En del af det, der er gået galt, er at underviserne er nødt til genopdage undervisningen igen og igen. Undervisere fra udlandet gør sig erfaringer igen og igen, men de bliver aldrig formidlet systematisk videre til andre, der kommer fra udlandet. Og meget ofte får en PhD-studerende en vejledningsopgave af en bestemt art én gang og siden aldrig mere. Tænk, hvis vi kunne systematisere erfaringsopsamlingen. Der findes en portfolio-tanke, hvor man samler sine undervisningserfaringer på systematisk vis. Men dels er der mange, der ikke bruger nogen portfolio, dels er en sådan portfolio af privat natur.

Megen erfaringsudveksling sker på tomandshånd og anekdotisk. Kunne man også lave en systematisk overdragelse af erfaringer, der samtidig evaluerer på undervisningen? En blandt mange muligheder er, at en underviser altid skriver et brev til de undervisere, der skal overtage hans/hendes opgaver. Her skal underviseren fortælle om det, der gik godt og det, der gik mindre godt – og komme med forslag til forbedringer. Hvis man så samtidig har adgang til gamle breve fra andre undervisere (og disse gøres tilgængelige for alle), får man et redskab til at viderebringe og reflektere over erfaringer.

Kylling kylling kylling

20110829-073142.jpg

Det værste foredrag, jeg nogensinde har overværet i akademisk sammenhæng, fandt sted under en workshop i Göteborg i overheadprojektorens dage. En foredragsholder fra et universitet i Norge (han kom dog fra et andet land i Europa) havde lavet slides, der simpelthen var siderne fra hans artikel. Han syntes dog ikke, at der var nok information i dem, så han havde tilføjet yderligere, ekstra ulæselig tekst med blå tusch nederst. Og så stillede han sig med jævne mellemrum foran overheadprojektoren, så han kunne bedre læse højt – og derved blev transparenterne projiceret op på ham selv. I det mindste havde han da hvid skjorte på. Han fik ét spørgsmål, og det besvarede han ved at ignorere det og tale om noget helt andet.

Mange år senere overværede jeg et PhD-forsvar, hvor PhD-kandidatens præsentation var af mildt sagt tvivlsom kvalitet. Manden sad ned foran sin computer og skiftede fra den ene overlæssede Powerpoint-slide til den næste, mens han talte/mumlede ned i bordet. Da jeg fik at vide, at hans eksterne vejleder var fra et universitet i Norge, gik der et lys op for mig. Og jo, det var min ven fra Göteborg, der på så fornem vis havde bragt sine kommunikative talenter ind i et nyt årtusinde.

Det behøver nu ikke at være så grelt, for at det bliver dårligt. Alle, der har været til en akademisk konference inden for de seneste få år, kender til denne situation: Man overværer et foredrag, hvor ingen reelt er til stede. Foredragsholderen taler til sig selv i halvmørket og fortaber sig i en labyrint af detaljer, mens et hav af “tilhørere” klapper deres computere op og begynder at læse e-mail (eller hvad ved jeg). Andre gange kæmper foredragsholderen faktisk en brav kamp mod salens apati, men får ét enkelt fesent spørgsmål som “respons”.

Men hvorfor holder vi så de forbandede konferencer? De fleste, jeg kender vil sige, at det bedste ved konferencerne er de samtaler og det samvær, der er uden for foredrags-sessionerne. Så kunne vi vel bare skrotte foredragene? Ja, og så alligevel ikke. Den store udfordring er at lave præsentationer, der rent faktisk kommunikerer det rigtige.

Moshe Vardi, der er professor på Rice University i USA og var ekstern bedømmer på forskningsevalueringen ved mit institut for et par år siden, har et interessant debatindlæg om netop dét i Communications of the ACM, affødt af endnu et foredrag, hvor han som tilhører hurtigt blev sat af. Han spurgte senere til den pågældende konference, hvor mange der havde forstået 100% af 100% af foredragene. Ingen svarede. 80% af 80% af foredragene? Én markerede. Det var først, da Vardi spurgte om hvor mange, der havde forstået 50% af 50% af foredragene, at 50% markerede! Det var nu også lidt beroligende at opdage, at selv en så højt begavet mand som Vardi også bliver sat af mange gange. Så er det trods alt ikke kun mig, der har problemer.

Moshe Varid foreslår, at man gør langt mere for at sikre kvaliteten af foredrag til konferencer. Mange konferencer i datalogi ligner “tidsskrifter med foredrag”; man sender en artikel ind og får den bedømt. Hvis artiklen bliver antaget, brygger man en præsentation sammen. Det er artiklen, ikke præsentationen, der tæller. Man men kunne forestille sig at præsentationen også spillede ind ved peer review-processen, foreslår Vardi: Man kunne sende et udkast til sin præsentation ind til bedømmelse sammen med artiklen.

Her er et foredrag, Vardi nævner i sin kommentar. Jeg var der desværre ikke selv, men det var på én gang 100% typisk og samtidig ret godt.

Ophavsmanden er Doug Zongker, og forum er en “humor session” i American Association for the Advancement of Science i 2007. Hvorfor har vi ikke den slags, hvor jeg færdes?

En minaret på Østerbro

I København så jeg, da S-toget kørte ind på stationen Svanemøllen, intet mindre end en minaret. Underligt, at ingen før har nævnt dette bygningsværk, tænkte jeg uvilkårligt. Så jeg søgte lidt på nettet. Minareten på Østerbro har faktisk intet med islam eller religion i det hele taget at gøre – den er faktisk ikke et rigtigt tårn, men en udluftning for Svanemøllen pumpestation, opført i 1906 og designet af den danske arkitekt Hans Wright.

Vi plejede at vente

I går aftes var jeg til koncert med det canadiske band Arcade Fire i Ballerup Super Arena. Jeg vil ikke skrive en egentlig anmeldelse af koncerten (den slags kan man finde andetsteds), men det var en god koncert. Arcade Fire er et godt bud på et rockband, der på én og samme tid er iørefaldende, har bred appel og alligevel kan lave musik, der vil noget mere end bare dét.

Under koncerten skete der det, der af og til sker for mig: Det gik op for mig, hvad en bestemt sang, som jeg troede jeg kendte godt, egentlig handler om. Her var det sangen “We Used To Wait” fra 2010-albummet The Suburbs. På storskærmen blev der under koncerten vist udsnit af breve og kuverter, og da var det, det gik op for mig: “We Used To Wait” handler om hvordan den teknologiske udvikling ændrer vores måde at tænke om kommunikation på. Vi plejede at skrive breve til hinanden og at vente på breve. Netop dette er sangens pointe. En følelse, jeg stadig husker, er glæden ved at modtage et brev fra nogen, jeg holder af. Det personlige brev er i dag i stort omfang blevet en artefakt på linje med LP-pladen og vil måske med tiden blive omgærdet med samme nostalgi. I dag er der store musiknavne – som f.eks. Arcade Fire – der igen udsender deres albums også på vinyl. Ja, årets udgave af The Suburbs (nu med to nye numre) har endda brugt en ny vinyl-baseret master!

Gad vide, om der en dag kommer en reaktion på e-mail og sms i form af at nogen begynder at sende hinanden håndskrevne breve?

En anden sang på The Suburbs, “Deep Blue”, handler forresten også om teknologiens indtog, nemlig om den dag i maj 1997, hvor IBMs skakcomputer Deep Blue vandt over Garry Kasparov.

Fremtiden set fra fortiden – nu med tabletter

20110827-150801.jpg

For nylig skrev jeg om Aalborg Stiftstidendes vision fra 1967 af Nordjylland i år 2000. Jeg tænkte da på, at Stiften i al fald ikke havde forudset fremkomsten af f.eks. en iPad. I Stanley Kubricks 2001, der stadig er en af mine absolutte yndlingsfilm, ser vi så ovenstående – astronauterne på Discovery har noget, der umiskendeligt ligner tablet-computere! Scenen er nu også blevet et indslag i den efterhånden patetiske patentkrig mellem Samsung og Apple. Samsung bruger filmklippet til at argumentere for at Apple ikke kan tage patenter på design af iPad. Måske har de ret. Lad begge firmaer lave deres tabletcomputere, siger jeg. De er styrtende rige i forvejen og bliver nok ved med at være det. Men har nogen tænkt på at Kubricks A Clockwork Orange viser hovedpersonen Alex lytte til Beethoven på noget, der i mistænkelig grad ligner en DAT-båndoptager?

De svære overgange

Jeg fandt via et gammelt indlæg i Luca Trevisans blog (som han efterhånden ikke skriver ret meget på mere) et interview i New York Times fra juni måned i år med fire fremtrædende kvindelige professorer  i naturvidenskab, alle ansat i USA. Der er mange interessante pointer i det forholdsvis korte interview, men jeg hæftede mig især ved en udtalelse af Mary-Clarie King, der er professor i neurovidenskab:

I think the choke point is going from a postdoc to an assistant professorship to a tenure-track position. In my experience the largest remaining obstacle is how to integrate family life with the life of a scientist.

Dette er næsten problemet i en nøddeskal, og ikke kun for kvinder. Det er sværere og sværere at komme videre i en akademisk karriere; postdoc-stillingerne er blevet vore dages blindgyde-adjunkter. Og på det tidspunkt, hvor man gerne vil stifte familie, vil man også gerne have en tryghed i sit arbejdsliv. Derudover kommer så i den akademiske biks de konkurrencekrav, der altid har været der, men synes at være accelereret inden for det seneste årti.

Jeg selv stiftede familie efter at jeg var blevet fastansat, og der var kun få forgæves forsøg på at få et lektorat – jeg var privilegeret. Jeg misunder bestemt ikke dem, der er i starten af en akademisk karriere i disse år. Somme tider er det ikke klart for mig, hvordan vi skal kunne videreføre traditioner for forskningsbaseret undervisning, når ansættelser er kortvarige og skellet mellem forskning og undervisning bliver et skel mellem ansættelsestyper. En postdoc-ansættelse bør kunne være et veldefineret skridt i en karriere i højere grad end det er tilfældet i dag.

Den anstændige løsning er, at universiteterne får en politik for postdoc-ansættelser og hvordan eksternt finansierede projekter forvalter dem, så vi ikke skaber en klasse af højt kvalificerede daglejere med alt hvad det indebærer af utryghed for dem. Det vil kunne være med til at fjerne en usikkerhed hos højt kvalificerede kvinder, og hvis det samtidig lykkes at anerkende, at også forskere kan og bør have et familieliv, vil det kunne gavne alle – uanset køn.

Så kom valget

Jeg har glædet mig til at slippe af med VCO-partiernes dominans, så jeg har set frem til hvert folketingsvalg siden 2001. Men jeg tror stadig ikke på det, og i år er jeg sløv og pessisimistisk som ingensinde før. Pia Kjærsgaards nationalisme og VCs mantra om egoets forbrugsfest runger efterhånden så højt i det indre øre, at ingen kan lytte – hverken til hinanden eller til tvivlen.

Jeg vil stemme et klart nej til den regering, der går til valg den 15. september, men jeg har desværre ingen illusioner om at en grim og ubegavet periode i dansk politik nu kan være slut.