Calexico

Calexico er en by i USA på grænsen mellem Californien og Mexico – deraf navnet. Lige på den anden side af grænsen ligger så Mexicali. Men Calexico er også navnet på et amerikansk band (eller vel ret beset en duo), som jeg holder af.

Der var engang en amerikansk trio ved navn Giant Sand med sanger/guitarist Howe Gelb. I 1990’erne kom de tit forbi Aalborg, og jeg var der altid, når de spillede på 1000Fryd. Giant Sand spillede en støvet, tilbagelænet, country-præget ørkenrock, og trommeslagerens særlige lilletrommelyd var en del af bandets lyd. En dag udsendte Giant Sand albummet OP8 sammen med Lisa Germano, og også de kom forbi 1000Fryd. Der var numre med Lisa Germano sammen med Giant Sand, solonumre med Lisa Germano – og numre, hvor bassisten og trommeslageren fra Giant Sand trådte i forgrunden og kaldte sig Calexico. Først da opdagede jeg, hvor væsentlige Joey Burns og John Convertino var i sig selv, og langsomt blev jeg fan af dette ensemble. I Calexicos musik mødes countrystemninger, en storladen og dog spartansk lyd af de store vidder og mexicanske stemninger med mariachi-trompeter på smukkest tænkelige vis. Joey Burns synger igennem, hvor Howe Gelb fra Giant Sand dræver løs, og John Convertinos specielle trommelyd er også at finde i Giant Sand.

Burns og Convertino har for længst forladt Giant Sand og koncentrerer sig om Calexico, der nu er blevet mere kendte end Giant Sand. I denne måned kom et opsamlingsalbum, Selections from Road Atlas 1998-2011, hvor man kan finde numre fra de albums, som kun har været tilgængelige på nogle minialbums, der blev solgt til Calexicos turneer. Her er rigtig meget godt at hente. Er Road Atlas et godt sted at starte for nytilkomne? Måske. Man kan også vælge at begynde ved seneste studiealbum, Carried To Dust. Men lyt til Calexico – de er værd at opdage.

(Og Giant Sand – hvad blev der af dem? Gruppen består nu af Howe Gelb og tre danske musikere – Thøger T. Lund, Anders Pedersen og Peter Dombernowsky.)

4,74 bekendtskaber væk

I matematik kender vi Erdös-tallet, som fortæller hvor mange led man er fra at have samarbejdet med den ikke helt ukendte ungarske matematiker Paul Erdös. Paul Erdös er den eneste, hvis Erdös-tal er 0. Hvis en matematiker samarbejder med en, hvis Erdös-tal er k, har han/hun selv Erdös-tal højst k+1. Det faktiske Erdös-tal er det mindste sådanne Erdös-tal. Efterhånden som årene går efter Paul Erdös’ død i 1996, vil Erdös-tallene uvægerligt vokse. Mit eget Erdös-tal er forresten 6.

Det, vi her har med at gøre, er den refleksive, transitive lukning R^{\ast} af en binær relation R. Denne transitive aflukning kan bestemmes som det iterativt definerede fikspunkt af funktionalet

F(X) = R \circ X,

og den itererede anvendelse er givet ved F^{k+1}(X) = F^{k}(F(X)). Erdös-tallet k for matematiker M er det mindste n, så (\mbox{Erdos},M) \in F^{n}(Id).

Figuren ovenfor viser en samarbejdsgraf og er baseret på data fra AMS Mathematical Reviews. Læs mere om grafen på Oakland Universitys side.

Hvad med alle de andre derude? Den amerikanske psykolog Stanley Milgram (ham med det berygtede eksperiment med indlæring, elektriske stød og autoritetstro) publicerede i 1962 en artikel sammen med Jeffrey Travers, hvor man talte om “the small-world problem”. Deres eksperimentelle resultater tydede på at mennesker højst var 6 led fra hinanden, og pop-frasen “six degrees of separation” var født.

Men nu har Jon Kleinberg, der er professor i datalogi ved Cornell University (i USA), så ved analyser af data fra Facebook fundet ud af at vi reelt kun er 4,74 led fra hinanden – i USA, hvor mere end halvdelen af alle over 13 bruger Facebook, er tallet endda kun 4,37. Kleinbergs resultater er beskrevet kort i en artikel fra New York Times.

Det er oplagt, at sociale medier på nettet giver bedre muligheder for at undersøge den transitive aflukning end dem, Milgram og Travers havde til rådighed. Så dét er i sig selv interessant. Der er samtidig tale et resultat, der kalder på en masse fortolkninger. Den storladne fortolkning er, at verden er lille og at vi alle er tæt på hinanden. Den mere forsigtige fortolkning tager udgangspunkt i at man ikke nødvendigvis kender sine Facebook-venner ret godt. Jeg prøver som hovedregel kun at have Facebook-venner, jeg rent faktisk har mødt – men også hos mig har der sneget sig en håndfuld mennesker ind, jeg aldrig har truffet.

Men interessant er det, især hvis resultaterne generaliserer hinsides Facebook. Min ikke spor videnskabelige observation fra Facebook er, at nogle af mine Facebook-venner har enormt mange venner (læser du dette, Ouafa Rian?), mens andre har ganske få (undskyld jeg ikke skriver på tysk, Alexander Ahmad) og at førstnævnte fungerer som travle “trafikknudepunkter”, mens sidstnævnte er “endestationer”.

Tilbage til lambda-kalkylen

Så vendte jeg omsider tilbage til hverdagen; der er snart ikke flere antibiotika tilbage i pilleæsken, og en dag slutter min hoste forhåbentlig også.

På fredag d. 25. kl. 12.30 kan jeg holde det foredrag på Institut for Matematiske Fag om Alan Turings liv og værk, som jeg længe har set frem til. Forhåbentlig er min stemme mindre slidt på det tidspunkt. Og på onsdag skal jeg holde sidste forelæsning i kurset Programmeringsparadigmer; det ser jeg ikke helt så meget frem til – simpelthen fordi jeg mangler at forberede mig en del på denne forelæsning. Der er en fællesnævner for de to foredrag, nemlig lambda-kalkylen. De fleste forbinder lambda-kalkylen med Alonzo Church (som da også fandt på den); ikke mange tænker dog på at også Alan Turing ydede vigtige tidlige bidrag her og bl.a. lavede tre artikler om den simpelt typede lambda-kalkyle. Allerede i Turings banebrydende On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, hvor Turing-maskinmodellen dukker op for første gang, skriver Turing om ækvivalens med lambda-kalkylen. Dette ækvivalensbevis skyldes i høj grad et forsøg på at yde et yderligere bidrag i lyset af at Turing fik kendskab til at Church omkring det tidspunkt hvor det første manuskript til On Computable Numbers… forelå, uafhængigt af ham havde vist netop det resultat om uafgørbarhed af logik, som Turing havde fundet frem til.

Det er svært at skrive en forelæsningsnote om lambda-kalkylen, når der allerede findes meget. Mit mål er at skrive en minimal fremstilling, der på én lang kursusgang netop berører den utypede lambda-kalkyles semantik, den simpelt typede lambda-kalkyle og Hindley-Milner-typesystemet for polymorf typeinferens. Alle beviserne skal være der, men tilpas gemt af vejen af hensyn til den mindre matematisk begejstrede læser (den slags mennesker findes, må man sande med alderen). En sådan minimal fremstilling har jeg desværre ikke kunnet finde nogen steder, så nu laver jeg den selv.

En interessant artikel (som jeg lover at få læst ordentligt en dag) om lambda-kalkylen er The impact of the lambda calculus af Henk Barendregt. Alle, der har beskæftiget med lambda-kalkylen ved (forhåbentlig) at Barendregt er den helt store autoritet inden for dette emne; hans “gule” bog er en klassiker og hans klassifikation af typesystemer som en kube er også et helt fundamentalt bidrag. Citatet ovenfor er snuppet fra artiklen; det giver et af de interessante eksempler på hvordan en central matematisk notation kan blive født ved et tilfælde.

Lyden af en hånd, der klapper

20111121-103047.jpg

Mens vi hører om revolutioner i Nordafrika og Mellemøsten, har Europa sin egen Assad – nemlig Alexander Lukasjenko, der nu i 17 år har kørt Hviderusland som sit eget personlige diktatur. Nogle gange bliver systematiske overgreb på menneskerettighederne nærmest absurde, når de skal forklares. Seneste initiativ fra Lukasjenko er således en lov, der gør det ulovligt for et større antal borgere at samles på et offentligt sted med det formål at gøre eller ikke gøre noget!

World Affairs Journal skriver:

In late July, his regime drafted a law that would prohibit a “joint mass presence of citizens in a public place that has been chosen beforehand, including an outdoor space, and at a scheduled time for the purpose of a form of action or inaction that has been planned beforehand and is a form of public expression of the public or political sentiments or protest.” The measure, which in the words of the New York Times “prohibit[ed] people from standing together and doing nothing,” was proposed in response to a series of weekly protests that had begun a month earlier, whereby citizens gathered in public parks or on street corners each Wednesday night and did nothing more than clap their hands or synchronize their cell phones to ring at an appointed time.

I sommers var oppositionen nemlig begyndt at protestere ved simpelthen at samles på et torv og stå tavse og klappe i hænderne. I det gamle Sovjetunionen skulle alle klappe af diktatoren. Nu skal de så lade være.

Eksport af papkasser

20111120-103607.jpg

Afghanistan er tydeligvis en ubekvem sag både for den tidligere og den nuværende regering.

Den nuværende regering vil forhandle sig frem til en aftale med de afghanske myndigheder, der skal gøre det muligt at sende uledsagede afghanske flygtningebørn til såkaldte modtagecentre i Afghanistan.

Ikke overraskende vil Dansk Folkeparti spørge justitsministeren, om dette rent faktisk kommer til at ske. DF ser selvfølgelig gerne, at de uledsagede flygtningebørn bliver sendt ud af Danmark.

Humanitære organisationer som Red Barnet og Røde Kors er til gengæld meget kritiske over for regeringens strategi. Anders Ladekarl fra Røde Kors udtaler:

Vi er blandt andet bekymret for børnenes sikkerhed, når de sendes tilbage til et land med væbnet konflikt som den, der foregår i Afghanistan.

Den nuværende regerings strategi er uværdig i sin kynisme. Inden for de seneste 20 år er det blevet en gængs politisk strategi at opfatte flygtninge som et flytbart problem – i bedste fald som en slags papkasser, der skal placeres et passende sted.

Men uledsagede flygtningebørn er ikke papkasser. Der er i dag en hel del viden om de psykiske følgevirkninger af at være uledsaget flygtningebarn. Videnscenter for Psykotraumatologi på SDU holdt tidligere i år en temadag om emnet; det har store psykiske omkostninger at være uledsaget flygtningebarn. En samling slides fra et foredrag af Karen-Lise Karstoft fra Videnscenter for Psykotraumatologi giver et udmærket overblik over viden på dette område. Der er meget, man ikke ved, men alt tyder på at risikoen for at få depression eller PTSD er meget højere for uledsagede flygtningebørn. Hvordan det vil påvirke børnene at blive sendt tilbage til en krigszone ved jeg ikke, men det er næppe gavnligt for dem.

Der er ingen stemmer at hente i uledsagede flygtningebørn – børnene selv kan ikke stemme, hverken her eller i Afghanistan, og deres skæbne berører os ikke på samme måde som multimedieskat eller efterløn vil gøre det. Men netop derfor er det nødvendigt at tage problemet alvorligt og gøre op med den kynisme, der har spredt sig.

Mig og Word

I går skrev jeg om LaTeX; i dag vil jeg kaste mig over Microsoft Word, som jeg må indrømme, at jeg ikke nærer mange varme følelser for. Det er formodentlig lidt uretfærdigt – der er trods alt tale om et stykke software, som mange mennesker tilsyneladende er glade for. Men Microsoft Words egnethed til udarbejdelse af arbejdsblade og projektrapporter i forbindelse med gruppearbejde på de naturvidenskabelige universitetsuddannelser er forsvindende lille; dette opdager man lynhurtigt som vejleder, når man ser de nye studerendes forsøg på at skrive deres første projektrapport. Deres forsøg på at finde frem til et ordentligt layout, at sætte gruppemedlemmernes filer sammen til et acceptabelt hele og ikke mindst på at skrive matematik og lave ordentlige henvisninger både internt i dokumentet og til litteratur sluger en masse kræfter. Det får de så lov til; bagefter skal de bruge LaTeX. Nogle få studerende trygler mig (forgæves) om at få lov til at fortsætte i den triste, trygge Word-tradition; de fleste kaster sig over LaTeX og bliver glade for det.

Jeg har af og til spekuleret på om man i LaTeX (uden brug af forskellige former for snyd som inklusion af grafik o.lign.) kan genskabe det gyselige Microsoft Word-layout, som nye studerende tager med sig ind på universitetet: urimelig linjeafstand, for lille margen, litteraturhenvisninger som anonyme URL’er osv.

At gøre dette viser sig at være en interessant øvelse i brug af LaTeX. Jeg har prøvet at lave et hurtigt bud; det kan hentes her. Den resulterende PDF-fil kan man se her. En stor hjælp har været en pakke, wordlike.sty, som skyldes Jürgen Fenn. Også layout-mulighederne i memoir-pakken har været en hjælp.

Kan nogen gøre det endnu værre og endnu mere realistisk? Det håber jeg bestemt. Jeg kunne f.eks. godt tænke mig ud fra en toc-fil at få autogenereret de æstetisk mislykkede Word-indholdsfortegnelser med alle prikkerne og den meningsløse brug af kursiv, og det ville også være godt at se den ekstra grimme variant af Times New Roman (men her skal nok bruges et fontværktøj til TeX). Skriv jeres bud i en kommentar.

Mig og LaTeX

20111118-133022.jpg

Her i hvad der forhåbentlig er de sidste dage af min sygemelding er jeg begyndt så småt at følge mere med i hvad der sker på universitetet. Jeg er bl.a. tilmeldt et Moodle-forum for den frie studieaktivitet i LaTeX på første studieår. Her kan man for alvor se, hvilke problemer nybegyndere i brugen af LaTeX slås med. Mange af dem ser ud til at være af typen “hvordan kan vi få output til at ligne det, vi kender fra Microsoft Word?”

Det helt store problem ved WYSIWYG-tekstbehandlingssoftware som Microsoft Word er netop, at det indirekte tvinger brugeren til at tænke over layout. Prisen for den tilsyneladende brugervenlighed er for høj, synes jeg. Før jeg selv begyndte at bruge LaTeX i 1987 (ja, vi kan snart holde sølvbryllup) sad jeg og mine medstuderende fra 1985 af med tidlige udgaver af Word-agtige programmer til de Macintosh-computere, som universitetet rådede over. Vi tænkte en hel masse over layoutet af vores projektrapporter – og resultatet var altid intet mindre end forfærdeligt.

Jeg havde hørt om TeX og blev opsat på at lære det; min studiekammerat Lars Fischer, der altid var tidligt ude, rådede mig til at kaste mig over LaTeX i stedet for Plain TeX. Jeg fik fat i Leslie Lamports bog, og efter nogle begyndervanskeligheder kom jeg i gang. I maj 1988 kunne jeg aflevere mit speciale skrevet i LaTeX. Det var ikke kun den sidste, men også den i særklasse pæneste projektrapport, jeg havde lavet.

Nogle af makroerne fra dengang har overlevet længe efter; indtil LaTeX2e indførte \ensuremath, brugte jeg Frank Jensens indsigt i hvordan man i Plain TeX kunne teste, om man befandt sig i mathmode eller LR-mode.

Jeg prøvede engang at skifte til Plain TeX; fordelene er klare: LaTeX rummer et hav af pakker, og der er en tendens til at mange brugere slæber rundt på en præambel, der inkluderer en masse pakker, som de sikkert aldrig bruger. Hvis pakke-installationerne er inkompatible, kan det være svært at skrive en artikel sammen. I Plain TeX er der ikke denne tendens til “pakkesyge”; en Plain TeX-fil vil altid kunne kompileres uden problemer.

Men hvorfor skiftede jeg så ikke til Plain TeX? Jeg opdagede, at jeg begyndte at lave abstraktioner til nummerering af afsnit osv. for at undgå at skulle rode med den slags bogholderi selv; og så var jeg i virkeligheden tilbage ved Leslie Lamports oprindelige motivation for at udarbejde LaTeX, nemlig at gøre det lettere at skrive struktureret TeX-kode. Men jeg lærte noget om TeX, og derfor var min korte Plain TeX-tid ikke forgæves.

I min bog Transitions and Trees, der udkom på Cambridge University Press sidste år, bruger jeg hele 18 pakker i præambelen. Dokumentklassen er en klasse, Cambridge ville have, at jeg skulle bruge (en modificeret udgave af book).

Når jeg helt selv kan bestemme, er det anderledes. I dag bruger jeg memoir-dokumentklassen og et fåtal af pakker; memoir-klassen er en fleksibel klasse, der gør det nemmere at definere layout-parametre selv, hvis man virkelig gerne vil, og den indarbejder samtidig funktionalitet fra en del hyppigt benyttede pakker.

Det sort/hvide gys

Et fikspunkt i mine sene barndomsår og tidlige ungdom var tegneserierne. På den ene side holdt jeg af de morsomme serier, på den anden side var jeg fascineret af det indviklede Marvel-univers, som blev forsøgt introduceret igen og igen uden held, og de dystert/ironiske amerikanske serier fra Warren Comics, der dukkede op i bladet Gru fra det for længst hedengangne Interpresse midt i 1970’erne. Min mor brød sig ikke om det blad, men jeg fik da lov til at læse det.

Gru hentede i de første mange udgivelser sit materiale fra de amerikanske Warren-udgivelser Creepy og Eerie. Førstnævnte havde en gnækkende fortællerskikkelse, Uncle Creepy, sidstnævnte en anden gnækkende fortællerskikkelse ved navn Cousin Eerie. Af uvisse årsager blev Uncle Creepy på dansk til Fætter Maddike, mens Cousin Eerie blev til… Onkel Kryb – der så til gengæld ikke dukkede op i Gru, men i Marvel-bladet Vampyr, hvor der mig bekendt ikke var én eneste historie om vampyrer.

Først mange år senere gik det op for mig, at Warren-bladene tog tråden op fra de banebrydende E.C. Comics, der i 1950’erne havde lanceret en række banebrydende gyser-, skræk- og science fiction-tegneserieudgivelser. I den seksual- og kommunistforskrækkede amerikanske virkelighed var den slags dømt til at gå galt. 15 år senere var det blevet de (lige)glade tressere, og Warren Comics kunne slå sig løs. Nogle af tegnerne fra E.C. Comics dukkede endda op igen. Den eneste E.C.-udgivelse, der overlevede i E.C.-regi, var forresten det humoristiske MAD.

Hvis Gru primært har en kitschet/nostalgisk plads i erindringen hos mange fra min generation, er det faktisk uretfærdigt. Tegneseriemæssigt var der tale om usædvanligt godt håndværk. Det var i dette blad, man første gang kunne stifte kendskab med grafiske kapaciteter som Richard Corben, Frank Frazetta, Neal Adams osv. og dygtige manuskriptforfattere som Steve Skeates, Archie Goodwin og Doug Moench. På sin vis var Warren Comics et overgangsfænomen på vejen mod meget af det, der senere skete (Métal Hurlant osv. osv.) og på godt og ondt var med til at berøve tegneseriemediet sin uskyld.

Ovenfor kan man se sidste side af historien “Werewolf”, mesterligt tegnet af Frank Frazetta. Ligesom alle andre historier i Eerie og Creepy var den en lille afsluttet fortælling på seks sider med en ironisk, egentlig meget moralsk pointe. Denne stil blev også rendyrket i krigstegneserierne i Blazing Combat, der tog en for amerikanske tegneserier usædvanligt kritisk holdning til hele militarismen og endda tog livtag med Vietnamkrigen. Det er ikke så underligt, at dén udgivelse kun holdt til 4 numre.

Jeg kan nu se, at alle de gamle Warren-udgivelser nu bliver genoptrykt i bokssæt fra Dark Horse Comics. Hvis jeg havde råd og (nok så meget) plads, købte jeg nogle af dem. At der ikke er noget tilsvarende dansk bokssæt, undrer mig ikke. Dels var udgivelserne fra dengang alt for rodede, dels er Interpresse ikke mere (mig bekendt blev resterne overtaget af Egmont).

Når gribbene spekulerer

20111116-134757.jpg

Hvis man nogen sinde har haft behov for at få argumenter for en regulering af internationale finanstransaktioner, står de i kø for tiden. Seneste eksempel er en såkaldt vulture fund, FG Hemisphere, der vil indkassere 100 millioner dollars fra Den Demokratiske Republik Congo. Et smuthul i lovgivningen på den britiske ø Jersey (der ikke er del af Det Forenede Kongerige) gør denne forkastelige praksis mulig.

En vulture fund er en fond, der specialiserer sig i at opkøbe gældsposter, hvor skyldneren er et land hærget af krig eller naturkatastrofer. På et opportunt tidspunkt, typisk når det går lidt bedre i landet, giver gribbefonden sig så til at kratte pengene ind hos det pågældende land. I tilfældet FG Hemisphere er der tale om en gammel gæld på oprindelig 3,3 millioner dollars, oprindelig et lån fra Jugoslavien til brug ved opførelse af højspændingsmaster. Det er 20 år siden, Jugoslavien begyndte at falde fra hinanden, så der er i sandhed tale om et gammelt lån. I mellemtiden har DR Congo været igennem en blodig borgerkrig – den blodigste krig siden 2. verdenskrig – og er nu midt i et stort udbrud af kolera.

Læs mere om gribbefondene hos f.eks. The Guardian, hvor man kan finde følgende citat fra Peter Grossman, formand for FG Hemisphere:

Outside his New York home, Grossman was questioned on whether he thought his pursuance of $100m from the war-ravaged country was fair. He replied: “Yeah, I do, actually.”

Det er ikke en parabel

20111115-193135.jpg

Jeg stillede for rigtig mange år siden nogle af mine medstuderende denne drilske gåde:

En 3 meter lang kæde er udspændt i sine to endepunkter mellem to halvanden meter høje pæle, der står på et plant underlag, således at kædens laveste punkt netop rører underlaget. Hvor langt er der mellem de to pæle?

Lars Bækgaard, der var en ørn til matematik, spurgte: Hvad er det nu, sådan en kurve er? Er det en parabel?

Nej, det er det ikke. I sin tid troede man, at kædelinjen, som kurven lidt misvisende kaldes, var en parabel. Måske troede selveste Galilei det.

Kædelinjen er faktisk (for et givet a) givet ved

f(t) = a \frac{e^{t/a} - e^{-t/a}}{2} = a \cosh (\frac{t}{a})

– den sidste lighed er en simpel observation ved at se definitionen af den hyperbolske cosinusfunktion. Der er nu alligevel et slægtskab med parablen: Tæt på t=0 er kædelinjen tæt på at være en parabel, og kædelinjen kan faktisk fremkomme som den kurve, en parabels brændpunkt følger, hvis den rulles langs en ret linje (se http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette_(curve) hvis man skulle være i tvivl om hvad der menes hermed).

Henrik Kragh Sørensen, der er matematikhistoriker på Aarhus Universitet, har en gammel tekst (udarbejdet som afløsningsopgave i studietiden) om kædelinjens historie. Her kan man se, hvordan Jakob Bernoulli i 1690 udskrev en konkurrence om at finde frem til egenskaberne ved kædelinjen. Huygens, Leibniz og Johann Bernoulli (Jakobs bror) svarede. Det interessante i matematikhistorisk sammenhæng er, at Huygens, der er lidt for gammel til at være glad for infinitesimalregning, ikke brugte differentialligninger i sin udledning (men faktisk anvender et grænseværdiagtigt ræsonnement, man først langt senere ville kunne formalisere pænt!). Leibniz bruger selvfølgelig differentialregning, og Bernoulli ligeså.

Der er masser af udledninger af kædelinjen derude. Der er endnu en historisk vinklet artikel af Frederick Rickey (med håndtegnede figurer), som jeg vil fremhæve for ikke bare en kort udledning men også for sin klare beskrivelse af Ignace Gaston Pardies’ argument fra 1673 for at kædelinjen ikke er en parabel (andre fandt ud af dette også, bl.a. Huygens i 1646).

Og svaret på gåden ovenfor? Afstanden mellem de to pæle må være 0 meter; det kræver intet kendskab til kædelinjen for at indse dette!